Introductio in analysin infinitorum

128 DE USU FACTORUM INVENTORUM LIB. I. $\frac{\sin. \frac{1}{2}(g+v)}{\sin. \frac{1}{2}g} = \cos. \frac{1}{2}v + \cot. \frac{1}{2}g . \sin. \frac{1}{2}v = (1+\frac{v}{g})(1-\frac{v}{2\omega-g})(1+\frac{v}{2\omega+g})(1-\frac{v}{4\omega-g}) \&c.$ Quorum Factorum lex progressionis satis est simplex & uniformis; atque ex his expressionibus per multiplicationem oriuntur ex ipsae, quae §. praecedente sunt inventae. CAPUT X. De usu Factorum inventorum in definiendis summis Serierum infinitarum. 165. Si fuerit $1 + Az + Bz^2 + Cz^3 + Dz^4 + \&c. = (1+\alpha z)(1+\beta z)(1+\gamma z)(1+\delta z) \&c.$, hi Factores, sive sint numero finiti sive infiniti, si in se actu multiplicentur, illam expressionem $1 + Az + Bz^2 + Cz^3 + Dz^4 + \&c.$, producere debent. Æquabitur ergo coëfficiens $A$ summæ omnium quantitatum $\alpha + \beta + \gamma + \delta + \epsilon + \&c.$. Coëfficiens vero $B$ æqualis erit summæ productorum ex binis, eritque $B = \alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta + \&c.$. Tum vero coëfficiens $C$ æquabitur summæ productorum ex ternis, nempe erit $C = \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \&c.$. Atque ita porro erit $D = $ summæ productorum ex quaternis, $E = $ summæ productorum ex quinis, &c., id quod ex Algebra communi constat. 166. Quia summa quantitatum $\alpha + \beta + \gamma + \delta + \&c.$, datur una cum summa productorum ex binis, hinc summa Quadratorum $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 + \&c.$, inveniri poterit, quippe quae æqualis est Quadrato summæ demtis duplicibus productis ex binis. Simili modo summa Cuborum, Biquadratorum & altiorum Potestatum definiri potest: si enim ponamus $P = $