Introductio in analysin infinitorum

L I B. I. 186 DE SERIEBUS $sin.\Phi = sin.\Phi$ $4(sin.\Phi)^3 = 3sin.\Phi - sin.3\Phi$ $16(sin.\Phi)^5 = 10sin.\Phi - 5sin.3\Phi + sin.5\Phi$ $64(sin.\Phi)^7 = 35sin.\Phi - 21sin.3\Phi + 7sin.5\Phi - sin.7\Phi$ $256(sin.\Phi)^9 = 126sin.\Phi - 84sin.3\Phi + 36sin.5\Phi - 9sin.7\Phi + sin.9\Phi$ &c. 223. Cum igitur hoc pacto omnes functiones fractae in fractiones partiales reales resolvi queant, simul omnium Serierum recurrentium termini generales per expressiones reales exhiberi poterunt. Quod quo clarius appareat, exempla sequentia adjuncta sunt. EXEMPLUM I. Ex fractione $\frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^3)} = \frac{1}{1-z-z^2+z^4+z^5-z^6}$, oritur ista Series recurrens $1+z+2z^2+3z^3+4z^ [TRUNCATED]