Introductio in analysin infinitorum

256 DE PARTITIONE LIB. I. ubi notandum est numerum propositum ipsum simul computari debere, quia numerus terminorum non definitur, ideoque unitas inde non excluditur. 302. Hinc igitur intelligitur, quomodo quisque numerus per additionem diversorum numerorum producatur. Conditio autem diversitatis omittetur, si Factores illos in denominatorem transponamus. Sit igitur proposita hæc expressio $\frac{1}{(1-x^\alpha z)(1-x^\beta z)(1-x^\gamma z)(1-x^\delta z)(1-x^\varepsilon z) \text{&c.}},$ quæ per divisionem evoluta det $1 + Pz + Qz^2 + Rz^3 + Sz^4 + \text{&c.}}$ Atque manifestum est fore $P$ aggregatum Potestatum ipsius $x$, quarum Exponentes contineantur in hac Serie $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \xi, \eta, \text{&c.}},$ Deinde $Q$ erit aggregatum Potestatum ipsius $x$, quarum Exponentes sint summæ duorum terminorum hujus Seriei, sive eorundem sive diversorum. Tum erit $R$ summa Potestatum ipsius $x$, quarum Exponentes ex additione trium terminorum illius Seriei oriantur; & $S$ summa Potestatum, quarum Exponentes ex additione quatuor terminorum in illa Serie contentorum formantur, & ita porro. 303. Si igitur tota expressio per singulos terminos explicetur, & termini similes conjunctim exprimantur, intelligetur quot variis modis propositus numerus $n$ per additionem $m$ terminorum, sive diversorum sive non diversorum, Seriei $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \xi, \text{&c.}},$ produci queat. Quæratur scilicet in expressione evoluta terminus $x^n z^m$, ejusque coëfficiens, qui fit $N$, ita ut totus terminus fit $= Nx^n z^m$, atque coëfficiens $N$ indicabit quot variis modis numerus $n$ per additionem $m$ terminorum