Introductio in analysin infinitorum

LIB. I. 36 DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM CAPUT III. De transformatione Functionum per substitutionem. 46. Si fuerit y Functio quaecunque ipsius z, atque z definiatur per novam variabilem x, tum quoque y per x definiri poterit. Cum ergo antea y fuisset Functio ipsius z, nunc nova quantitas variabilis x inducitur, per quam utraque priorum y & z definiatur. Sic, si fuerit $y = \frac{1-zz}{1+zz}$, atque ponatur $z = \frac{1-x}{1+x}$; hoc valore loco z substituto, erit $y = \frac{2x}{1+xx}$. Sumpto ergo pro x valore quocunque determinato, ex eo reperientur valores determinati pro z & y, sicque invenitur valor ipsius y respondens illi valori ipsius z qui simul prodiit. Uti si fit $x = \frac{1}{2}$, fiet $z = \frac{1}{3}$, & $y = \frac{4}{5}$; reperitur autem quoque $y = \frac{4}{5}$, si in $\frac{1-zz}{1+zz}$, cui expressioni y aequatur, ponatur $z = \frac{1}{3}$. Adhibetur autem haec novae variabilis introductio ad duplicem finem: vel enim hoc modo irrationalitas, qua expressio ipsius y per z data laborat, tollitur; vel quando ob aequationem altioris gradus, qua relatio inter y & z exprimitur, non licet Functionem explicitam ipsius z ipsi y aequalem exhibere, nova variabilis x introducitur, ex qua utraque y & z commode definiri queat: unde insignis substitutionum usus jam satis elucet, ex sequentibus vero multo clarius perspicietur. 47. Si fuerit $y = \sqrt{(a+bz)}$; nova variabilis x per quam utraque z & y rationaliter exprimatur, sequenti modo invenietur. Quoniam tam z quam y debet esse Functio rationalis ipsius x; perspicuum est hoc obtineri si ponatur $\sqrt{(a+bz)} = bx$: Fiet enim primo $y=bx$; & $a+bz = bbxx$; hincque $z = bxx - \frac{a}{b}$. Quocirca utraque quantitas y & z per Functionem rationalem ipsius x exprimitur; scilicet cum fit $y = \sqrt{(a+bz)}$ fiat $z = bxx - \frac{a}{b}$; erit $y=bx$. 48. S.