Introductio in analysin infinitorum

52 DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM LIB. I. in qua potestas $z^n$ coëfficientem habebit $\frac{(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2} a^n a +$ $\frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} a^{n-1} b + \frac{(n-1)n}{1 \cdot 2} a^{n-2} c$. Quod si autem ponatur $a=1$ & $z=1$, Series haec abibit in progressio- nem generalem secundi ordinis, cujus differentiae secundae sunt constantes. Designet $A+B+C+D+E+$ &c. hujus- modi progressionem, erit ea simul Series recurrens, cujus qui- libet terminus ex tribus antecedentibus ita determinatur ut fit $D=3C-3B+A$; $E=3D-3C+B$; $F=3E-3D+C$ &c. Cum igitur terminorum in progressione arithmetica proceden- tium secundae differentiae quoque sint aequales, nempe $=0$, haec proprietas quoque ad progressiones arithmeticas exten- ditur. 66. Simili modo haec fractio $\frac{a+bz+cz^2+dz^3}{(1-az)^4}$ dabit Seriem infinitam, in qua potestas ipsius $z$ quaecunque $z^n$ hunc habebit coëfficientem $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{1 \cdot 2 \cdot 3} a^n a +$ $\frac{n(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} a^{n-1} b + \frac{(n-1)n(n+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3} a^{n-2} c +$ $\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3} a^{n-3} d$: posito ergo $a=1$ & $z=1$; haec Series in se complectetur omnes progressiones algebraicas tertii ordinis, quarum differentiae tertiae funt constantes: omnes ergo hujus ordinis progressiones, cujusmodi fit $A+B+C+D$ $+E+F+$&c. erunt simul recurrentes ex denominatore $1-4z$ $+6z^2-4z^3+z^4$ ortae; unde erit $E=4D-6C+$ $4B-A$; $F=4E-6D+4C-B$ &c., quae proprietas simul in omnes progressiones inferiorum ordinum competit. 67. Hoc modo ostendentur omnes progressiones algebraicas cujuscunque ordinis, quae tandem ad differentias constantes deducunt, esse Series recurrentes, quarum lex definiatur ex de- nominatore $(1-z)^n$, existente $n$ numero majore quam is, qui ordinem progressionis indicat. Cum igitur $a^m + (a+b)^m +$ $(a+2b)$