Methodus inveniendi lineas curvas

IN RESOLVENDIS QUAESTIONIBUS. 155 bitu, cum axe, tum ejus initio, saepe-numero conditionem praescriptam nequidem impleri posse. Nam si axis AD per centrum transcat, tum area ABMP perpetuo minor erit quam duplum sectoris BCM; nisi, arcu BM infinite parvo, prima applicata BA simul per centrum transeat: sin autem axis AD supra centrum transiret, tum nullo modo conditioni inventae satisfieri potest. Quare necesse est, ut axis AD infra centrum C ducatur, qua de re multae egregiae observationes geometricae fieri possent, si ratio instituti id permitteret. Caeterum si haec Solutio cum Exemplo secundo praeced. Prop. §. 20 comparetur; apparebit eandem prorsus aequationem esse inventam, sive $∫ydx \times ∫dx\sqrt{(1+pp)}$ debeat esse minimum, sive $\frac{∫ydx}{∫dx\sqrt{(1+pp)}}$ maximum. Discrimen tamen in hoc consistit; quod radius Circuli $c = \frac{A}{b}$ altero casu affirmative, altero negative debeat accipi. Scilicet si $∫ydx \times ∫dx\sqrt{(1+pp)}$ debeat esse minimum, arcus BM convexitate sua spatium ABMP; altero autem casu, concavitate claudere debet. EXEMPLUM II. 28. Intra datum angulum ACM, curvam AM construere Fig. 7. ita comparatam, ut area ACM per arcum AM divisa sit omnium maxima. Ponatur angulus ACM, seu arcus circuli BS radio CB $= 1$ descriptus $= x$, qui in casu proposito fiat $= a$, quo $\frac{ACM}{AM}$ fieri debet maximum. Ponatur porro $CM = y$, sitque $dy = pdx$, erit $Mn = ydx$, & area $ACM = \frac{1}{2}∫yydx$: arcus autem AM reperitur $= ∫dx\sqrt{(yy+pp)}$: unde haec fractio $\frac{∫yydx}{2∫dx\sqrt{(yy+pp)}}$, seu ejus duplum $\frac{∫yydx}{∫dx\sqrt{(yy+pp)}}$ debebit esse maximum. Sit, casu quo $x=a$ est,