Methodus inveniendi lineas curvas

168 DE USU METHODI Cum autem, posito, $n=0$, arcus $s$ evanescere debeat, necesse est ut sit hoc casu $\frac{ub}{p} + c = 0$; hinc itaque vel dato curvæ initio constans $c$ determinabitur, vel vicissim ex $c$ positio primæ tangentis innotescet. Cæterum si hanc quæstionem attentius contemplemur, deprehendemus eam jam contineri in Exemplo quodam Capitis præced. §. 45. Cum enim nostra expressio, quæ maximum minimumve esse debeat, sit $e^{-\int n f dx \sqrt{(1+pp)}} \int e^{\int n f dx \sqrt{(1+pp)}} dx$; ponatur ea $= W$, erit $e^{\int n f dx \sqrt{(1+pp)}} W = \int e^{\int n f dx \sqrt{(1+pp)}} dx$, atque differentiando fiet $dW + n W dx \sqrt{(1+pp)} = dx$. Maximi igitur minimive expressio $W$ datur per æquationem differentialem, quæ in Casu quarto §. 7 continetur: atque methodo convenienti tractata ad eandem perducit æquationem, quam hic invenimus. Quæstionem autem illam in se complectentem supra in Cap. præc. §. 45 tractavimus, in quo hunc ipsum casum adjunctum spectare licet. Comparatione autem instituta, summus perspicitur consensus solutionum variarum ejusdem Problematis, quæ quidem tentari queant. EXEMPLUM IV. 41. Invenire curvam in qua, pro data abscissa $= a$, fiat ista expressio $\frac{\int d x \sin. A. y. \sqrt{(1+pp)}}{\int d x \cos. A. y. \sqrt{(1+pp)}}$ maximum vel minimum. Posito $x=a$, fiat $\int dx (1+pp)^{\frac{1}{2}} \sin. Ay = A$, & $\int dx (1+pp)^{\frac{1}{2}} \cos. Ay = B$; erit, per valores differentiales, $dA = n v. dx ((1+pp)^{\frac{1}{2}} \cos. Ay - \frac{1}{dx} d. \frac{p \sin. A. y.}{\sqrt{(1+pp)}})$, & $dB = n v. dx (-(1+pp)^{\frac{1}{2}} \sin. Ay - \frac{1}{dx} d. \frac{p \cos. A y}{\sqrt{(1+pp)}})$. Cum igitur $\frac{A}{B}$ debeat esse maximum vel minimum, erit $B dA = A dB$.