Methodus inveniendi lineas curvas

196 DE METHODO EXEMPLUM V. 45. Inter omnes curvas az aequales areas aAZz continentes, determinare eam, quae circa axem AZ rotata generet solidum minimae superficiei. Quoniam proprietas communis in area $= \int y dx$ constituitur; erit ejus valor differentialis $= nv. dx$. Deinde formula, quae minimum esse debet, est $\int y dx \sqrt{(1+pp)}$, cujus valor differentialis est $= nv . (dx \sqrt{(1+pp)} - d. \frac{yp}{\sqrt{(1+pp)}}) ;$ unde orietur, pro curva quaesita, ista aequatio $ndx = dx\sqrt{(1+pp)} - d. \frac{yp}{\sqrt{(1+pp)}}$, quae, per $p$ multiplicata & integrata, praebet $ny + b = \frac{y}{\sqrt{(1+pp)}}$, seu $\sqrt{(1+pp)} = \frac{y}{ny+b}$; unde fit $p = \frac{\sqrt{(y^2 - (ny+b)^2)}}{ny+b} = \frac{dy}{dx}$; ac $dx = \frac{(ny+b)dy}{\sqrt{(y^2 - (ny+b)^2)}} = \frac{(ny+b)dy}{\sqrt{((1-n^2)y^2 - 2bny - bb)} [TRUNCATED]