Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 209 Quoniam proprietas communis longitudinem arcus $s = \int dx \sqrt{(1+pp)}$ respicit, atque in maximi minimive formula $\int s^n dx$ inest ipse arcus, solutio pertinebit ad Casum in Scholio pertractatum. Comparata ergo formula $\int s^n dx$ cum generali $\int Z dx$, fiet $Z=s^n$ & $dZ=ns^{n-1}ds$; hincque $L=ns^{n-1}$, $M=0$, $N=0$, $P=0$ &c. Quare ex Scholii Casu ultimo, quo posueramus $M=0$ & $N=0$, habebitur ista aequatio $Adx - Bdy = Zdy = s^n dy$, ex qua oritur $Adx = dy(B+s^n)$ & $A^2dx^2 + A^2dy^2 = A^2ds^2 = dy^2(A^2+(B+s^n)^2)$ ideoque $dy = \frac{Ads}{\sqrt{(A^2+(B+s^n)^2)}}$ atque $dx = \frac{(B+s^n)ds}{\sqrt{(A^2+(B+s^n)^2)}}$; unde Curvae constructio perfici poterit. Vel posito $dy=pdx$, erit $s^n = \frac{A-Bp}{p}$, ex quo fiet $ds = dx\sqrt{(1+pp)} = -\frac{Adp(A-Bp)^{\frac{1-n}{n}}}{np^{\frac{1+n}{n}}}$. Atque hinc per $p$ coordinatae curvae $x$ & $y$ ita determinabuntur, ut fit $x = -\frac{A}{n}\int \frac{dp(A-Bp)^{\frac{1-n}{n}}}{p^{\frac{1+n}{n}}\sqrt{(1+pp)}}$ & $y = -\frac{A}{n}\int \frac{dp(A-Bp)^{\frac{1-n}{n}}}{p^{\frac{1}{n}}\sqrt{(1+pp)}}$. Videntur hic quidem quatuor constantes, duae scilicet novae, praeter $A$ & $B$, ingredi, ob duplicem integrationem $y$ & $x$. At cum posito $x=0$, simul arcus curvae $s = \sqrt[n]{\frac{A-Bp}{p}}$ evanescere debeat; hinc vicissim constans in integratione ipsius $x$ orta definictur. Nimirum si $n$ fuerit numerus affirmativus, arcus Euleri De Max. & Min. Dd