Methodus inveniendi lineas curvas

260 DE CURVIS His ergo integralibus in subsidium vocatis, erit: $AC = \frac{\pi a}{2\sqrt{2}}(1 + \frac{1.1}{2.2} \times \frac{cc}{2aa} + \frac{1.1.3.3}{2.2.4.4} \times \frac{c^4}{4a^4} + \&c.)$ $AC-AD = \frac{\pi a}{2\sqrt{2}}(\frac{cc}{2aa} + \frac{1.3}{2.4} \times \frac{c^4}{4a^4} + \frac{1.3.5}{2.4.6} \times \frac{c^6}{8a^6} + \&c.)$. Ex his ergo reperiuntur AD & AC ut sequitur: $AC = \frac{\pi a}{2\sqrt{2}}(1 + \frac{1^2}{2^2} \times \frac{cc}{2aa} + \frac{1^2.3^2}{2^2.4^2} \times \frac{c^4}{4a^4} + \frac{1^2.3^2.5^2}{2^2.4^2.6^2} \times \frac{c^6}{8a^6} + \&c.)$ $AD = \frac{\pi a}{2\sqrt{2}}(1 - \frac{1^2}{2^2} \times \frac{1}{1} \times \frac{cc}{2aa} - \frac{1^2.3^2}{2^2.4^2} \times \frac{1}{3} \times \frac{c^4}{4a^4} - \frac{1^2.3^2.5^2}{2^2.4^2.6^2} \times \frac{1}{5} \times \frac{c^6}{8a^6} - \&c.)$. Si itaque detur $AE = e$, & $AD = b$, ex his aequationibus & recta constans $a$ & longitudo curvae AC definietur. Vicissim autem ex data longitudine curvae AC, & recta $a$, per quam vis inflectens determinatur, reperiri poterunt rectae AD & CD. *Species prima.* 25. Quoniam igitur speciem primam constituimus, si in aequatione generali $dy = \frac{(aa - cc + xx)dx}{\sqrt{(cc - xx)(2aa - cc + xx)}}$ fuerit $c = 0$, seu $\frac{a}{c} = \infty$, quo casu linea resultat repraesentans statum laminae Elasticae naturalem; ad eandem speciem primam referamus quoque eos casus, quibus $c$ est quantitas quamminima, ita ut prae $a$ pro evanescente haberi queat. Quia ergo $x$ ipsam $c$ superare nequit; etiam $x$ prae $a$ evanescet, ideoque ista prodibit aequatio $dy = \frac{adx}{\sqrt{2(cc - xx)}}$, cujus integrale est $y = \frac{a}{\sqrt{2}} A \sin. \frac{x}{c}$, quae est aequatio pro curva Trochoide in infinitum elongata. Fiet autem $AD = \frac{\pi a}{2\sqrt{2}}$, a qua ipsa curvae longitudo infinite parum tantum discrepat, propterea quod angulus DAM est infinite parvus. Sit longitudo laminae $ACB = 2f$, ejusque elasticitas absoluta $= Ekk$; ob $f = \frac{2\sqrt{2}}{a}$, erit vis ad hanc curvaturam infinite parvam laminae inducendam requi-