Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 71 natus, sed fortuito excogitatus. Hoc autem Exemplum ideo ad- jicere visum est, ut casus habeatur, quo solutio non solum ad aequationem differentialem quarti ordinis ascendit, sed etiam neque per subsidia generalia supra allata ad gradum inferiorem perduci queat. Praecedentia enim Exempla cuncta ita sunt com- parata, ut per regulas generales in Corollariis expositas statim aequatio pro curva quaesita inferioris gradus differentialis erui potuerit. PROPOSITIO V. PROBLEMA. 56. Invenire curvam, in qua sit valor formula $\int Zdx$ maxi- mus vel minimus, existente $Z$ ejusmodi functione, qua differentia- lia cujusvis gradus involvat, ita ut sit $dZ=Mdx+Ndy+Pdp+Qdq+Rdr+Sds+Tdt+\&c.$ SOLUTIO. Quoniam translatio puncti $n$ in $\nu$ praecedentia elementa ma- gis afficit, quam sequentia; unicum enim sequens elementum afficit, at in praecedentia eo ulterius extenditur, quo altiorum ordinum differentialia adsint; hanc ob rem expediet aliquam an- teriorem applicatam, uti $Hh$, pro prima accipere, ita ut muta- tio ex particula $n\nu$ applicatae $Nn$ adjecta non citra $Hh$ por- rigatur; id quod eveniet si in $z$ differentialia non ultra sextum ordinem ascendant. Sufficiet autem valorem ipsius $dZ$ ad ter- minum $Tdt$ usque extendere, quia ex ipsa solutione modus fa- cile colligetur eam ad quotcunque ulteriores terminos accom- modandi. Praeterea, quia in hoc Problemate praecedentia om- nia continentur, constabit simul solutionem perpetuo eandem prodire, quaecunque applicata particula quadam infinite parva, uti $n\nu$, augeatur. Sit igitur $AH=x$, & $Hh=y$, respon- debunt singulis punctis abscissae $H, I, K, L, M, N, O \ \&c.$ valores litterarum $p, q, r, s, t \ \&c.$ ut sequitur: H