Introductio in analysin infinitorum

72 DE QUANTITATIBUS LIB. I. $+\frac{1}{16}; -\frac{1}{8}; +\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}; +1; -2; +4; -8; +16.$ Præterea vero si Exponenti $z$ valores tribuantur fracti, Potestas $a^z = (-2)^z$ mox reales mox imaginarios induet valores, erit enim $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$, imaginarium; at erit $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$ reale: utrum autem, si Exponenti $z$ tribuantur valores irrationales, Potestas $a^z$ exhibeat quantitates reales an imaginarias, ne quidem definiri licet. 100. His igitur incommodis numerorum negativorum loco $a$ substituendorum commemoratis, statuamus $a$ esse numerum affirmativum, & unitate quidem majorem, quia huc quoque illi casus, quibus $a$ est numerus affirmativus unitate minor, facile reducuntur. Si ergo ponatur $a^z = y$, loco $z$ substituendo omnes numeros reales, qui intra limites $+\infty$ & $-\infty$ continentur, $y$ adipiscetur omnes valores affirmativos intra limites $+\infty$ & $0$ contentos. Si enim sit $z = \infty$ erit $y = \infty$; si $z=0$ erit $y=1$, & si $z = -\infty$ fiet $y=0$. Vicissim ergo quicunque valor affirmativus pro $y$ accipiatur, dabitur quoque valor realis respondens pro $z$ ita ut sit $a^z = y$; sin autem ipsi $y$ tribueretur valor negativus, Exponens $z$ valorem realem habere non poterit. 101. Si igitur fuerit $y = a^z$, erit $y$ Functio quædam ipsius $z$, &, quemadmodum $y$ a $z$ pendeat, ex natura Potestatum facile intelligitur; hinc enim quicunque valor ipsi $z$ tribuatur, valor ipsius $y$ determinatur. Erit autem $yy = a^{2z}$; $y^3 = a^{3z}$: & generaliter erit $y^n = a^{nz}$; unde sequitur fore $\sqrt{y} = a^{\frac{1}{2}z}$; $\sqrt[3]{y} = a^{\frac{1}{3}z}$ & $\frac{1}{y} = a^{-z}$; $\frac{1}{yy} = a^{-2z}$; & $\frac{1}{\sqrt{y}} = a^{-\frac{1}{2}z}$, & ita porro. Præterea, si fuerit $v = a^x$ erit $vy = a^{x+z}$ & $\frac{v}{y} = a^{x-z}$, quorum subsidiorum beneficio eo facilius valor ipsius $y$ ex dato valore ipsius $z$ inveniri potest. EXEM-