Introductio in analysin infinitorum

88 DE QUANTITATUM EXPONENTIALIUM LIB. I. Manifestum autem est, quo major numerus pro $i$ sumatur, eo magis Potestatem $(1+k\omega)^i$ unitatem esse superaturam; atque statuendo $i$ = numero infinito, valorem Potestatis $(1+k\omega)^i$ ad quemvis numerum unitate majorem ascendere. Quod si ergo ponatur $(1+k\omega)^i = 1+x$, erit $l(1+x) = i\omega$, unde, cum fit $i\omega$ numerus finitus, Logarithmus scilicet numeri $1+x$, perspicuum est, $i$ esse debere numerum infinite magnum, alioquin enim $i\omega$ valorem finitum habere non posset. 119. Cum autem positum fit $(1+k\omega)^i = 1+x$, erit $1+k\omega = (1+x)^{\frac{1}{i}}$ & $k\omega = (1+x)^{\frac{1}{i}} - 1$, unde fit $i\omega = \frac{i}{k}((1+x)^{\frac{1}{i}} - 1)$. Quia vero est $i\omega = l(1+x)$, erit $l(1+x) = \frac{i}{k}((1+x)^{\frac{1}{i}} - 1)$, posito $i$ numero infinite magno. Est autem $(1+x)^{\frac{1}{i}} = 1 + \frac{1}{i}x - \frac{1(i-1)}{i \cdot 2i}x^2 + \frac{1(i-1)(2i-1)}{i \cdot 2i \cdot 3i}x^3 - \frac{1(i-1)(2i-1)(3i-1)}{i \cdot 2i \cdot 3i \cdot 4i}x^4 + \&c.$ Ob $i$ autem numerum infinitum, erit $\frac{i-1}{2i} = \frac{1}{2}$; $\frac{2i-1}{3i} = \frac{2}{3}$; $\frac{3i-1}{4i} = \frac{3}{4}$, \&c.; hinc erit $i(1+x)^{\frac{1}{i}} = i + \frac{x}{1} - \frac{xx}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \&c.$, & consequenter $l(1+x) = \frac{1}{k}(\frac{x}{1} - \frac{xx}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \&c.)$, posita basi Logarithmica $= a$ ac denotante $k$ numerum huic basi convenientem, ut scilicet fit $a = 1 + \frac{k}{1} + \frac{k^2}{1.2} + \frac{k^3}{1.2.3} + \&c.$ 120. Cum igitur habeamus Seriem Logarithmo numeri $1+x$ aequalem, ejus ope ex data basi $a$ definire poterimus valorem numeri