Introductio in analysin infinitorum

LIB. I. 108 DE INVESTIGATIONE expressionem $\alpha + \frac{\beta p}{q} + \frac{\gamma p^2}{q^2} + \frac{\delta p^3}{q^3} + \frac{\epsilon p^4}{q^4} + \&c. = 0$. Un- de vicissim, si omnes radices $\frac{p}{q}$ hujus aequationis eruantur, sin- gulae dabunt totidem Factores simplices Functionis integrae pro- positae $\alpha + \beta z + \gamma z^2 + \delta z^3 + \&c.$, nempe $p-qz$. Patet autem simul numerum Factorum hujusmodi simplicium ex ma- xima Potestate ipsius $z$ definiri. 144. Hoc autem modo plerumque difficulter Factores ima- ginarii eruuntur, quamobrem hoc Capite methodum peculiarem tradam, cujus ope saepenumero Factores simplices imaginarii inveniri queant. Quoniam vero Factores simplices imaginarii ita sunt comparati, ut binorum productum fiat reale, hos ip- sos Factores imaginarios reperiemus, si Factores investigemus duplices, seu hujus formae $p-qz+rzz$, reales quidem, sed quorum Factores simplices sint imaginarii. Quod si enim Fun- ctionis $\alpha + \beta z + \gamma z^2 + \delta z^3 + \&c.$, constent omnes Factores reales duplices hujus formae trinomialis $p-qz+rzz$, simul omnes Factores imaginarii habebuntur. 145. Trinomium autem $p-qz+rzz$ Factores simplices habebit imaginarios, si fuerit $4pr > qq$ seu $\frac{q}{2\sqrt{pr}} < 1$. Cum igitur Sinus & Cosinus Angulorum sint unitate minores, for- mula $p-qz+rzz$ Factores simplices habebit imaginarios si fuerit $\frac{q}{2\sqrt{pr}}$ Sinui vel Cosinui cujuspiam Anguli. Sit ergo $\frac{q}{2\sqrt{pr}} = \cos. A \Phi$, seu $q = 2 \sqrt{pr} \cdot \cos. \Phi$, atque trinomium $p-qz+rzz$ continebit Factores simplices imaginarios. Ne autem irrationalitas molestiam facessat, assumo hanc formam $pp - 2pqz \cdot \cos. \Phi + qqzz$, cujus Factores simplices imagi- narii erunt hi, $qz-p(\cos. \Phi + \sqrt{-1} \cdot \sin. \Phi)$ & $qz-p$ $(\cos. \Phi - \sqrt{-1} \cdot \sin. \Phi)$. Ubi quidem patet si fuerit $\cos. \Phi = $ $\pm 1$, tum ambos Factores, ob $\sin. \Phi = 0$, fieri aequales & reales. 146. Proposita ergo Functione integra $\alpha + \beta z + \gamma z^2 + \delta z^3 +$ $\&c.$,