Introductio in analysin infinitorum

FACTORUM TRINOMIALIUM. 117 Confirmatur ergo etiam his exemplis omnem Functionem in- CAP. IX. tegram in Factores reales, sive simplices sive duplices, resolvi posse. 154. Hinc ulterius progredi licebit ad Functionem hanc $\alpha + \varbeta z^n + \gamma z^{2n} + \delta z^{3n}$, quae certo habebit unum Factorem realem formae $\eta + \vartheta z^n$, cujus igitur Factores reales, vel simplices vel duplices, exhiberi possunt; alter vero multiplicator formae $\iota + \varkappa z^n + \lambda z^{2n}$, utcumque fuerit comparatus, per §. praeced. pari modo in Factores resolvi poterit. Deinde haec Functio $\alpha + \varbeta z^n + \gamma z^{2n} + \delta z^{3n} + \varepsilon z^{4n}$, cum perpetuo habeat duos Factores reales formae hujus $\eta + \vartheta z^n + \iota z^{2n}$, similiter in Factores, vel simplices vel duplices, reales resolvitur. Quin etiam progredi licet ad formam $\alpha + \varbeta z^n + \gamma z^{2n} + \delta z^{3n} + \varepsilon z^{4n} + \xi z^{5n}$ quae, cum certo habeat unum Factorem formae $\eta + \vartheta z^n$, alter Factor erit formae praecedentis; unde etiam haec Functio resolutionem in Factores reales, vel simplices vel duplices, admittet. Quare si ullum dubium mansisset circa hujusmodi resolutionem omnium Functionum integrarum, hoc nunc fere penitus tolletur. 155. Traduci vero etiam potest haec in Factores resolutio ad Series infinitas; scilicet, quia vidimus supra esse $1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^3}{1.2.3} + \frac{x^4}{1.2.3.4} + \&c. = e^x$; at vero esse $e^x = (1 + \frac{x}{i})^i$, denotante $i$ numerum infinitum, perspicuum est Seriem $1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^3}{1.2.3} + \&c.$ habere Factores infinitos simplices inter se aequales nempe $1 + \frac{x}{i}$. At si ab eadem Serie primus terminus dematur, erit $\frac{x}{1} + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^3}{1.2.3} + \&c.$ P 3