Introductio in analysin infinitorum

AC DIVISIONE ANGULORUM. 199 CAP. XIV. enim Sinus omnes sunt inter se æquales. Hinc obtinemus plures valores pro $x$, qui erunt fin. $\frac{s}{n}$; fin. $\frac{\varpi-s}{n}$; fin. $\frac{2\varpi+s}{n}$; fin. $\frac{3\varpi-s}{n}$; fin. $\frac{4\varpi+s}{n}$; &c., qui ergo omnes æquationi inventæ æque conveniunt. Tot autem prodibunt diversi pro $x$ valores, quot numerus $n$ continet unitates, qui propterea erunt radices æquationis inventæ. Cavendum ergo est, ne valores æquales pro iisdem habeantur, quod fiet dum alternæ tantum expressiones assumantur. Cognitis igitur radicibus æquationis a posteriori, earum comparatio cum terminis æquationis notatu dignas præbebit proprietates. Quoniam autem ad hoc æquatio, in qua tantum $x$ tanquam incognita insit, requiritur, pro $y$ suus valor $\sqrt{(1-xx)}$ substitui debet; unde duplex operatio instituenda erit, prout $n$ fuerit vel numerus par vel impar. 236. Sit $n$ numerus impar, quia Arcuum $-z, +z, +3z, +5z$; &c., differentia est $2z$, hujusque Cosinus $= 1-2xx$, erit progressionis Sinuum scala relationis hæc $2-4xx, -1$. Hinc erit fin. $-z = -x$ fin. $z = x$ fin. $3z = 3x - 4x^3$ fin. $5z = 5x - 20x^3 + 16x^5$ fin. $7z = 7x - 56x^3 + 112x^5 - 64x^7$ fin. $9z = 9x - 120x^3 + 432x^5 - 576x^7 + 256x^9$ ergo fin. $nz = nx - \frac{n(nn-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \frac{n(nn-1)(nn-9)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} x^5 - \frac{n(nn-1)(nn-9)(nn-25)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} x^7 + \&c.,$ si quidem $n$ fuerit numerus impar. Hujusque æquationis radices sunt