Introductio in analysin infinitorum

252 DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. LIB. I. $\frac{\pi\pi}{8} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 6} \cdot \frac{7 \cdot 7}{6 \cdot 8} \cdot \frac{11 \cdot 11}{10 \cdot 12} \cdot \frac{13 \cdot 13}{12 \cdot 14} \cdot \&c.,$ erit $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{18} \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{22} \cdot \&c.,$ ubi nulli denominatores per 8 divisibiles occurrunt, pariter pares vero adsunt, quoties unitate differunt a numeratoribus. Prima vero per ultimam divisa dat $1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{12} \cdot \&c.,$ quæ fractiones formantur ex numeris primis, singulos in duas partes unitate discrepantes dispescendo, & partes pares, (nisi sint pariter pares) pro numeratoribus sumendo. 296: Simili modo reliquæ Series, quas supra pro expressione arcuum circularium invenimus (179. & seqq.) in Factores transformari possunt, qui ex numeris primis constituantur. Sicque multæ aliæ insignes proprietates tam hujusmodi Factorum, quam Serierum infinitarum erui poterunt. Quoniam vero præcipuas hic jam commemoravi, pluribus evolvendis hic non immorabor. Sed ad aliud huic affine argumentum procedam. Quemadmodum scilicet in hoc Capite numeri, quatenus per multiplicationem oriuntur, sunt considerati, ita in sequenti generatio numerorum per additionem perpendetur. CAPUT