Introductio in analysin infinitorum

262 DE PARTITIONE LIB. I. Quot variis modis numerus $n$ per additionem produci potest ex numeris $1, 2, 3, 4$, totidem variis modis numerus $n+10$ in quatuor partes inaequales secari poterit. 312. Generaliter ergo, si haec expressio $\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \dots (1-x^m)}$ in Seriem evolvatur, ejusque terminus generalis fuerit $= Nx^n$, coëfficiens $N$ indicabit, quot variis modis numerus $n$ per additionem produci possit ex his numeris $1, 2, 3, 4 \dots m$. Quod si autem haec expressio $\frac{x^{\frac{m(m+1)}{2}}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \dots (1-x^m)}$ in Seriem evolvatur, erit ejus terminus generalis $= Nx^{n+\frac{m(m+1)}{2}}$: atque hic coëfficiens $N$ indicat quot variis modis numerus $n+\frac{m(m+1)}{2}$ in $m$ partes inaequales secari possit, unde hoc habetur theorema. Quot variis modis numerus $n$ per additionem produci potest ex numeris $1, 2, 3, 4 \dots m$, totidem modis numerus $n+\frac{m(m+1)}{2}$ in $m$ partes inaequales secari poterit. 313. Ex posita partitione numerorum in partes inaequales, perpendamus quoque partitionem in partes, ubi aequalitas partium non excluditur; quae partitio ex hac expressione originem habet $Z = \frac{1}{(1-xz)(1-x^2z)(1-x^3z)(1-x^4z)(1-x^5z) \&c.}$ Ponamus evolutione per divisionem instituta prodire $Z =$