Introductio in analysin infinitorum

276 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM LIB. I. C A P U T XVII. De usu Serierum recurrentium in radicibus aequationum indagandis. 332. Indicavit Vir Celeb. Daniel BERNOULLI insignem usum Serierum recurrentium in investigandis radicibus aequationum cujusvis gradus, in Comment. Acad. Petropol. Tomo III., ubi ostendit, quemadmodum cujusque aequationis algebraicae, quotcunque fuerit dimensionum, valores radicum veris proximi ope Serierum recurrentium assignari queant. Quae inventio, cum saepenumero maximam afferat utilitatem, eam hic diligentius explicare constitui, ut intelligatur, quibus casibus adhiberi possit. Interdum enim praeter expectationem evenit, ut nulla aequationis radix ope hujus methodi cognosci queat. Quocirca, ut vis hujus methodi clarius perspiciatur, ex proprietatibus Serierum recurrentium totum fundamentum, quo nititur, contemplemur. 333. Quoniam omnis Series recurrens ex evolutione cujusdam fractionis rationalis oritur, fit ista fractio $ \frac{a + bz + cz^2 + dz^3 + ez^4 + \&c.}{1 - \alpha z - \beta z^2 - \gamma z^3 - \delta z^4 - \&c.} $, unde oriatur sequens Series recurrens $ A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + Ez^4 + Fz^5 + \&c., $ cujus coëfficientes $ A, B, C, D, \&c., $ ita determinantur ut fit $ A = a $