Introductio in analysin infinitorum

278 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM LIB. I. $Ap^n, Bq^n, Cr^n, \&c.$, ut ea, quæ oritur ex maximo numerorum $p, q, r, \&c.$, reliquas magnitudine longe superet, præ eaque reliquæ penitus evanescant, si $n$ fuerit numerus plane infinite magnus. Cum igitur numeri $p, q, r, \&c.$, sint inter se inæquales, ponamus inter eos $p$ esse maximum; ac propterea, si $n$ fit numerus infinitus, fiet $P = Ap^n$; sin autem $n$ fit numerus vehementer magnus erit tantum proxime $P = Ap^n$. Simili vero modo erit $Q = Ap^{n+1}$, ideoque $\frac{Q}{P} = p$. Unde patet, si Series recurrens jam longe fuerit producta, coëfficientem cujusque termini per præcedentem divisum proxime esse exhibiturum valorem maximæ litteræ $p$. 336. Si igitur in fractione proposita $\frac{a + bz + cz^2 + dz^3 + \&c.}{1 - \alpha z - \beta z^2 - \gamma z^3 - \delta z^4 - \&c.}$ denominator habeat omnes Factores simplices reales & inter se inæquales, ex Serie recurrente inde orta cognosci poterit unus Factor simplex, is scilicet $1 - pz$, in quo littera $p$ omnium maximum habet valorem. Neque in hoc negotio coëfficientes numeratoris $a, b, c, d. \&c.$, in computum ingrediuntur, sed quicunque ii statuantur, tamen denique idem verus valor litteræ maximæ $p$ invenitur. Verus quidem valor ipsius $p$ tum demum innotescit, quando Series in infinitum fuerit continuata; interim tamen si jam plures ejus termini fuerint formati, eo propius valor ipsius $p$ cognoscetur, quo major fuerit terminorum numerus, & quo magis littera ista $p$ excedat reliquas $q, r, s, \&c.$: perinde vero est utrum hæc maxima littera $p$ fuerit signo $+$ an signo $-$ affecta, quoniam ejus Potestates æque increscunt. 337. Quemadmodum nunc hæc investigatio ad inventionem radicum æquationis cujusvis algebraicæ accommodari possit,