Introductio in analysin infinitorum

FUNCTIONUM. 31 Ponatur $N = (p-qz)^3 S$, sitque fractio ex Factore $S$ orta CAP. II. $\frac{P}{S} = \frac{M-AS-B(p-qz)S-C(p-qz)^2S}{(p-qz)^3}$. Functioni integræ. Numerator ergo $M - AS - B(p-qz)S - C(p-qz)^2 S$ ante omnia divisibilis esse debet per $(p-qz)$; unde is, posito $p-qz=0$, seu $z=\frac{p}{q}$, evanescere debet, eritque adeo $M-AS=0$, ideoque $A=\frac{M}{S}$, posito $z=\frac{p}{q}$. Invento hoc pacto $A$ erit $M-AS$ divisibile per $p-qz$ ponatur ergo $\frac{M-AS}{p-qz}=T$, atque $T-BS-C(p-qz)S$ adhuc per $(p-qz)^2$ erit divisibile; fiet ergo $T-BS=0$, posito $p-qz=0$; ex quo prodit $B=\frac{T}{S}$ posito $z=\frac{p}{q}$. Sic autem invento $B$ erit $T-BS$ divisibile per $p-qz$. Hanc ob rem, posito $\frac{T-BS}{p-qz}=V$, superest ut $V-CS$ divisibile sit per $p-qz$; eritque ergo $V-CS=0$, posito $p-qz=0$, atque $C=\frac{V}{S}$, posito $z=\frac{p}{q}$. Inventis ergo hoc modo numeratoribus $A, B, C$, fractiones partiales ex denominatoris $N$ Factore $(p-qz)^3$ ortæ erunt $\frac{A}{(p-qz)^3} + \frac{B}{(p-qz)^2} + \frac{C}{p-qz}$. EXEMPLUM. Sit proposita hæc fracta Functio $\frac{zz}{(1-z)^3(1+zz)}$, ex cujus denominatoris Factore cubico $(1-z)^3$ oriantur hæ fractiones partiales: $\frac{A}{(1-z)^3} + \frac{B}{(1-z)^2} + \frac{C}{1-z}$. Erit ergo $M=zz$ & $S=1+zz$; unde fit primum $A = \frac{zz}{1+zz}$ posito