Introductio in analysin infinitorum

50 DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM LIB. I. sicque de ceteris. In his ergo Seriebus quilibet terminus determinatur ex aliquot antecedentibus secundum legem quandam constantem, quæ lex ex denominatore fractionis hanc Seriem producentis sponte apparet. Vocari autem hæ Series a Celeb. MOIVRÆO, qui earum naturam maxime est scrutatus, solent recurrentes, propterea quod ad terminos antecedentes est recurrendum, si sequentes investigare velimus. 63. Ad harum porro Serierum formationem requiritur ut denominatoris terminus constans $\alpha$ non fit $= 0$: cum enim inventus fit terminus Seriei primus $A = \frac{a}{\alpha}$, tum is, tum omnes sequentes fierent infiniti, si esset $\alpha = 0$. Hoc ergo casu excluso, quem deinceps evolvam, Functio fracta in Seriem infinitam recurrentem transmutanda, hujusmodi habebit formam $\frac{a+bz+cz^2+dz^3+\text{&c.}}{1-\alpha z - \beta z^2 - \gamma z^3 - \delta z^4 - \text{&c.}}$ ; ubi primum denominatoris terminum pono $= 1$, huc enim semper fractio reduci potest, nisi is sit $= 0$; reliquos autem denominatoris terminos omnes tanquam negativos contemplor, ut Seriei hinc formatæ omnes termini fiant affirmativi. Quod si enim Series recurrens hinc orta ponatur $A+Bz+Cz^2+Dz^3+Ez^4+\text{&c.}$, coëfficientes ita determinabuntur ut sit $A = a$ $B = \alpha A+b$ $C = \alpha B + \beta A + c$ $D = \alpha C + \beta B + \gamma A + d$ $E = \alpha D + \beta C + \gamma B + \delta A + e$ &c. Quilibet ergo coëfficiens æqualis est aggregato ex multiplis aliquot præcedentium una cum numero quodam, quem numerator præbet. Nisi autem numerator in infinitum progrediatur, hæc additio mox cessabit, atque quivis terminus secundum legem constantem ex aliquot præcedentibus determinabitur. Ne ergo lex progressionis usquam turbetur conveniet Functio-