Introductio in analysin infinitorum

70 DE QUANTITATIBUS LIB. I. titates exponentiales, prout vel solus Exponens est quantitas variabilis, vel praeterea etiam ipsa quantitas elevata; prioris generis est $a^z$, hujus vero $y^z$; quin etiam ipse Exponens potest esse quantitas exponentialis uti in his formis $a^{a^z}$; $a^{y^z}$; $y^{a^z}$; $x^{y^z}$. Hujusmodi autem quantitatum non plura constituemus genera, cum earum natura satis clarè intelligi queat, si primam tantum speciem $a^z$ evolverimus. 97. Sit igitur proposita hujusmodi quantitas exponentialis $a^z$, quae est Potestas quantitatis constantis $a$, Exponentem habens variabilem $z$. Cum igitur iste Exponens $z$, omnes numeros determinatos in se complectatur, primum patet si loco $z$ omnes numeri integri affirmativi successive substituantur, loco $a^z$ hos prodituros esse valores determinatos $a^1$; $a^2$; $a^3$; $a^4$; $a^5$; $a^6$; &c. Sin autem pro $z$ ponantur successive numeri negativi $-1$, $-2$, $-3$, &c. prodibunt $\frac{1}{a}$; $\frac{1}{a^2}$; $\frac{1}{a^3}$; $\frac{1}{a^4}$; &c. ac, si fuerit $z=0$, habebitur semper $a^0=1$. Quod si loco $z$ numeri fracti ponantur, ut $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$; &c. orientur isti valores $\sqrt{a}$; $\sqrt[3]{a}$; $\sqrt[3]{aa}$; $\sqrt[4]{a}$; $\sqrt[4]{a^3}$; &c., qui in se spectati geminos pluresve induunt valores, cum radicum extractio semper valores multiformes producat. Interim tamen hoc loco valores tantum primarii, reales scilicet atque affirmativi admitti solent; quia quantitas $a^z$ tanquam Functio uniformis ipsius $z$ spectatur. Sic $a^{\frac{5}{2}}$ medium quendam tenebit locum inter $a^2$ & $a^3$, eritque ideo quantitas ejusdem generis; & quamvis valor $a^{\frac{5}{2}}$ sit aeque $=-aa\sqrt{a}$, ac $=+aa\sqrt{a}$, tamen posterior tantum in censum venit. Eodem modo res se habet, si Exponens $z$ valores irrationales accipiat, quibus casibus cum difficile sit numerum valorum involutorum concipere.