Methodus inveniendi lineas curvas

94 DE METHODO MAX. ET MIN. Quia est Z functio ipsius $\Pi$; fit $dZ=Ld\Pi$, erit L functio ipsius $\Pi=\int ydx$. Deinde cum fit $d\Pi=ydx$; erit $[Z]=y$, & ob $d[Z]=[M]dx+[N]dy+[P]dp+\&c.$ fiet $[M]=0, [N]=1, [P]=0, [Q]=0, \&c.$ unde pro curva quaesita haec habebitur aequatio $0=H-\int Ldx$; ideoque $L=0$. Hinc erit $\Pi=\int ydx=\text{constanti cuidam}$, porroque $y=0$. Satisfacit ergo sola linea recta in ipsum axem incidens; idque pro quacunque abscissa aeque ac pro definita $=a$. EXEMPLUM II. 16. Si $\Pi$ denotet aream curvae $=\int dx\sqrt{(1+pp)}$ ejusque functio quacunque fuerit Z; invenire curvam, quae, pro data abscissa $AZ=a$, habeat valorem formulae $\int Zdx$ maximum vel minimum. Ob $dZ=Ld\Pi$, erit L functio ipsius arcus $\Pi$; & ob $d\Pi=dx\sqrt{(1+pp)}$, erit $[Z]=\sqrt{(1+pp)}$ & $[M]=0, [N]=0, [P]=\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}, [Q]=0, \&c.$ unde pro curva quaesita ista habebitur aequatio: $0=-d.\frac{p}{dx\sqrt{(1+pp)}}(H-\int Ldx)$; hincque $C=\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}(H-\int Ldx):$ ubi constans C ita determinari debet, ut, posito $x=a$, fiat $C=\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}} \times 0$; quare quia $\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$ infinitum fieri nequit, necesse est ut fit $C=0$; ideoque vel $\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}=0$; vel $\int Ldx=H$. Fiet ergo, ex posteriore aequatione, $L=0$; & $\Pi=\text{constanti cuidam}$: ex quo porro deducitur $d\Pi=dx\sqrt{(1+pp)}=0$, cui conditioni nullo modo satisfieri potest. Ex priore aequatione autem deducitur $p=0$, seu $dy=0$, quae est aequatio pro linea recta axi AZ parallela, quae quaestioni pro abscissa quacunque satisfacit, EXEM-