Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 93 SCHOLION II. 14. Deinde vero considerari meretur casus quo $[N]$ evanescit; id quod evenit, si $[Z]$ fuerit functio ipfarum $x$, $p$, $q$, $r$, &c. non involvens $y$. Ponamus esse $[Z]$ functionem ipsarum $x$ & $p$, atque $d[Z] = [M]dx + [P]dp$. Si igitur ponatur $∫[Z]dx = n$, atque curva quæratur, in qua, pro abscissa definita $AZ = a$, maximum minimumve fit formula $∫Zdx$, existente $Z$ functione ipsius $n$, ita ut fit $dz = Ldn$; orietur pro curva quæsita ista æquatio $0 = \frac{d.[P](H - ∫Ldx)}{dx}$; ideoque $Const. = [P](H - ∫Ldx)$. Hæc vero constans, per integrationem ingressa, non est arbitraria; nam eam ita comparatam esse oportet, ut posito $x = a$, quo casu fit $∫Ldx = H$, fiat $\frac{Const.}{[P]} = 0$. Hoc autem evenire non potest, nisi vel hæc constans ponatur $= 0$, vel quantitas $[P]$ ita comparata fit ut fiat $= ∞$, posito $x = a$. Priori casu habetur vel $[P] = 0$, vel $∫Ldx = H$, hoc est $L = 0$, seu $∫[Z]dx = Const.$ seu potius $[Z] = 0$; posteriori casu autem, constans tamen pro arbitrio non accipi potest, nam determinabitur, ponendo $x = a - dx$, eo modo, quo expressiones quæ certis casibus indeterminatæ videntur definiri solent. Atque hinc perspicitur in hujusmodi Problematis numerum constantium arbitrariarum in solutionem ingredientium, cui æqualis sumi debet numerus punctorum, per quæ curvæ satisfacienti transeundum est, non ex gradu differentialium judicari posse. Pervenietur enim sæpe, tollendo per differentiationem omnes formulas integrales, ad æquationem differentialem altioris gradus, a quo nequaquam Problematis determinatio per aliquot puncta pendebit. EXEMPLUM I. 15. Si denotet $n$ aream curvæ $∫ydx$, atque $Z$ fit functio quacunque ipsius $n$, invenire curvam quæ, pro data abscissa $= a$, habeat valorem formulæ $∫Zdx$ maximum vel minimum. M 3