Methodus inveniendi lineas curvas

106 DE METHODO MAX. ET MIN. PROPOSITIO IV. PROBLEMA. 31. Sit $\pi = \int [z]dx$ & $d[z] = [m]dx + [n]dy + [p]dp + [q]dq$, atque quantitas $[Z]$ ita involvat formulam integralem $\pi$, ut fit $d[Z] = Zd\pi + [M]dx + [N]dy + [P]dp + [Q]dq$. Jam posito $\pi = \int [Z]dx$, sit $Z$ functio ipsarum $x, y, p, q$, itemque ipsius $\pi$; ita ut sit $dZ = Ld\pi + Mdx + Ndy + Pdp + Qdq$. His positis, oporteat definiri curvam $az$, quae, pro data abscissa $AZ=a$, habeat valorem formulae $\int Zdx$ maximum vel minimum. SOLUTIO. Ut in Scholio praecedente monuimus, est nobis abscissa $AL=x$, & applicata $Ll=y$; abscissae autem $AL=x$ respondeat valor $\int Zdx$ qui a particula $n\nu$ non afficietur. Ex quo valor differentialis ex sequentibus abscissae elementis determinari debebit. quibus respondebunt valores $Zdx, Z'dx, Z''dx, Z'''dx, Z^{iv}dx$, &c. usque ad ultimum abscissae totius propositae $AZ$ elementum in $Z$. Invenientur autem singulorum horum terminorum valores differentiales per differentiationem; substituendo loco differentialium $dy, dp, dq$, valores paragrapho praecedenti indicatos. Erit igitur $d.Zdx = dx(Ld\pi + \frac{Q.n\nu}{dx^2})$ $d.Z'dx = dx(L'd\pi' + \frac{P'n\nu}{dx} - \frac{2Q'n\nu}{dx^2})$ $d.Z''dx = dx(L''d\pi'' + N''n\nu - \frac{P''n\nu}{dx} + \frac{Q''n\nu}{dx^2})$ $d.Z'''dx = dx L'''d\pi'''$ $d.Z^{iv}dx = dx L^{iv}d\pi^{iv}$ &c. Superest igitur ut per $n\nu$ definiamus differentialia $d\pi, d\pi', d\pi'', d\pi'''$ &c. hoc est valores differentiales quantitatum $\pi, \pi', \pi'', \pi'''$ &c. Est vero $\Pi =$