Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 105 penitus determinans, ita ut nullum curvæ punctum pro arbitrio accipi liceat. SCHOLION II. 30. Per hoc igitur Problema, non solum illæ quæstiones curvam pro data abscissa maximum minimumve habentem formulam $\int Z dx$ desiderantes resolvi possunt, in quibus $Z$ præter quantitates determinatas $x, y, p, q, r, s, \&c.$ unam formulam integralem $n = \int [Z] dx$ complectitur; sed etiamsi plures ejusmodi formulæ affuerint. Interim tamen notandum est has formulas integrales $n = \int [Z] dx$ in functione $Z$ contentas, ita comparatas esse debere, ut $[Z]$ fit functio determinata, hoc est functio quantitatum $x, y, p, q, r, \&c.$ nullas ultra formulas integrales involvens. Hanc ob rem, nunc investigemus methodum resolvendi ejusmodi Problemata, quando ista functio $[Z]$ non est determinata, sed præter $x, y, p, q, \&c.$ formulam integralem novam $\pi = \int [z] dx$ involvit. Ne autem solutio nimium fiat prolixa, non ultra differentialia secundi gradus considerabimus. Jam enim intelligitur si solutio fuerit adornata usque ad differentialia secundi gradus, tum per inductionem, solutionem ad quosque ulteriores gradus extendi posse. Hunc in finem nobis erit $L1$ prima applicata designanda per $y$, a qua tertia quæ sequitur $Nn = y''$ particula $n\nu$ augeri concipiatur: Ex hoc augmento nascentur sequentia quantitatum $y, p, \& q;$ cum suis derivativis incrementis $d.y = 0$ $d.p = 0$ $d.q = +\frac{n\nu}{dx^2}$ $d.y' = 0$ $d.p' = +\frac{n\nu}{dx}$ $d.q' = +\frac{2n\nu}{dx^2}$ $d.y'' = +n\nu$ $d.p'' = -\frac{n\nu}{dx}$ $d.q'' = +\frac{n\nu}{dx^2}$ quæ Tabella sufficit ad Problemata quæcunque resolvenda, uti ex sequente Propositione intelligetur. Euleri De Max. & Min. O PRO-