Methodus inveniendi lineas curvas

114 DE METHODO MAX. ET MIN. in formula $\int [Z]dx$, quæ valorem ipsius $n$ præbet, ipsa quantitas $[Z]$ denuo $n$ involvit. Hoc enim casu complexio istiusmodi formularum integralium actu in infinitum progreditur; namque si fit $d[Z] = [L]dn + [M]dx + [N]dy + [P]dp + [Q]dq +$ &c. erit hic iterum $dn$, quod ante fuerat $d\pi$, & quoniam est $dn = [Z]dx$, denuo eadem æquatio $d[Z] = [L]dn + [M]dx + [N]dy +$ &c. recurrit, atque ita tractatio formularum integralium nusquam abrumpetur. Casum igitur hunc, cum quia insignem nobis afferet usum, tum quia concinnam admittit solutionem, pertractabimus. PROPOSITIO V. PROBLEMA. 38. Si $n$ aliter non detur nisi per aequationem differentialem $dn = [Z]dx$, in qua $[Z]$, præter quantitates ad curvam pertinentes $x, y, p, q, r,$ &c. ipsam quantitatem $n$ complectatur, ita ut fit $d[Z] = [L]dn + [M]dx + [N]dy + [P]dp + [Q]dq +$ &c. Sit $Z$ functio quacunque ipsius $n$ & ipsarum $x, y, p, q,$ &c. ita ut fit $dZ = Ldn + Mdx + Ndy + Pdp + Qdq +$ &c. invenire curvam, in qua, pro data abscissa $AZ=a$, maximum minimumve fit formula $\int Zdx$. SOLUTIO. Ponamus differentialia, quæ tam in $Z$ quam in $[Z]$ insunt, secundum gradum non excedere, ita ut particula $n\nu$ ultra abscissæ punctum L versus initium nullam mutationem inferat. Solutio enim nihilominus hinc poterit maxime generalis confici. Sit igitur abscissa $AZ=x$, & applicata $Ll=y$, patietur $\int Zdx$ ab adjecta particula $n\nu$ applicatæ $Nn=y''$ nullam mutationem, ejusque valor differentialis erit $=0$. Quamobrem valor differentialis formulæ $\int Zdx$, quatenus ad totam abscissam $AZ$ extenditur, colligi debebit ex elementis $Zdx, Z'dx, Z''dx, Z'''dx,$ &c. Singulorum autem horum elementorum valores differentiales invenientur, si ea differentientur, & loco differentialium $dy, dy', dy'', dp, dp', dp'',$ &c. & $dq, dq', dq''$ valores