Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 119 tialia ad gradum quemcunque affurgant. Ad hoc efficiendum, fit valor formulæ integralis $\int e^{\int [L]dx} Ldx$, quem obtinet, fi $x=a$ ponatur, $=H$, ac scribatur, brevitatis ergo, $V$ loco hujus expressionis $e^{-\int [L]dx} (H - \int e^{\int [L]dx} Ldx)$, erit- que valor differentialis $=nv.dx(N+[N]V - \frac{d(P+[P]V)}{dx} + \frac{d^2(Q+[Q]V)}{dx^2} - \frac{d^3(R+[R]V)}{dx^3} + \&c.)$ Atque hinc pro curva quæsita orietur ista æquatio, $0 = N+[N]V - \frac{d(P+[P]V)}{dx} + \frac{d^2(Q+[Q]V)}{dx^2} - \frac{d^3(R+[R]V)}{dx^3} + \frac{d^4(S+[S]V)}{dx^4} - \&c.$ Q. E. I. COROLL. I. 39. Inservit igitur ista propositio ejusmodi Problematibus resolvendis, in quibus maximi minimive formula $\int Zdx$ talem in se continet quantitatem $\pi$, quæ nequidem formula integrali ex quantitatibus ad curvam pertinentibus $x, y, p, q, r, \&c.$ exhiberi potest, sed cujus determinatio pendet a resolutione æquationis differentialis cujuscunque. Habetur enim $d\pi=[Z]dx$, atque $[Z]$ ipsam quantitatem $\pi$ utcunque in se complecti ponitur. COROLL. II. 40. Casus hic notari meretur, quo est $L=[L]$, quippe quo fit formula $\int e^{\int [L]dx} Ldx$ integrabilis, integrali existente $=e^{\int [L]dx}$. Quod si ergo, posito $x=a$, abeat $e^{\int [L]dx}$ in $H$, fiet $V=He^{-\int [L]dx} - 1$. Co.