Methodus inveniendi lineas curvas

124 DE METHODO MAX. ET MIN. dam valorem. Ut autem indoles curvæ magis percipiatur, ex æquatione $n = - \frac{ngpdx(1+pp)}{dp}$ patet valorem ipsius $dp$ ubique negativum esse oportere, ex quo curva versus axem erit concava. Quia igitur valores ipsius $p$ recedendo a curvæ initio decrescunt, in ipso curvæ initio $p$ maximum habebit va- Fig. 6. lorem. Hinc ponamus initium curvæ ibi, ubi est $p = \infty$. Sit ergo AP axis curvæ verticalis, in cujus directione vis gravita- tis $g$ corpus deorsum trahat, atque in initio curvæ A sit tangens horizontalis Aa: ibique corpus motum super curva incipiat, celeritate, cujus quadratum fit $= b$. Erit igitur, posito $p = \infty$, $b =$ $\sqrt[n]{\frac{g}{c}}$, atque $cb'' = g$, seu $c = \frac{g}{b''}$. Porro ad uniformitatem conservandam fit $a = \frac{1}{k''}$. Quod si jam curva quæsita fit AM, & ponatur $AP = x$, $PM = y$, & $dy = pdx$; erit in M celeritatis quadratum $n = bk \sqrt[n]{\frac{b''+gk''p}{g\sqrt{1+pp}}}$; atque ubi tan- gens curvæ fiet verticalis, ibi erit celeritatis quadratum $= k\sqrt[n]{g}$. Curvæ autem constructio ita conficietur, ut fit $x = - \frac{bk}{ng} \int \frac{dp}{p(1+pp)} \sqrt[n]{\frac{b''+gk''p}{g\sqrt{1+pp}}}$ & $y = - \frac{bk}{ng} \int \frac{dp}{1+pp} \sqrt[n]{\frac{b''+gk''p}{g\sqrt{1+pp}}}$ Deinde commemorari meretur singularis proprietas, seu re- latio inter corporis descendentis vim centrifugam, quæ est $\frac{2\Pi}{\text{rad. osculi}}$, & vim normalem quæ est $\frac{gp}{\sqrt{1+pp}}$. Quod si enim vis centrifuga $\frac{2\Pi}{\text{rad. ofc.}} = \frac{2\Pi dp}{dx(1+pp)^{3/2}}$ ponatur $= F$, & vis normalis $\frac{gp}{\sqrt{1+pp}} = G$; erit, ex æquatione $n = - \frac{ngpdx(1+pp)}{dp}$, seu $\frac{2\Pi dp}{dx(1+pp)^{3/2}} = \frac{2\Pi gp}{n\sqrt{1+pp}}$, hæc rela- tio