Methodus inveniendi lineas curvas

144 DE USU METHODI $+ 2y^3 dy = 0$, cujus integrale est $n^2 y^2 + y^4 = C$, hincque $\Pi = \frac{\sqrt{(b^4 - y^4)}}{y}$; quæ æquatio, quia non pendet ab $V$, pro quocunque valore ipfius $x$ satisfaciet. Erit autem introducta abf- ciffa $AP = t$, ob $u = \Pi = \frac{ydy}{dt}$, ista æquatio $\frac{ydy}{dt} = \frac{\sqrt{(b^4 - y^4)}}{y}$, unde $dt = \frac{yydy}{\sqrt{(b^4 - y^4)}}$, ex qua æquatione intel- ligitur Elasticam rectangulam quæsito satisfacere; ita ut pro area ANM inter normales AN & MN arcus curvæ AM sit bre- vissimus. Hæc autem curva per data duo puncta, siquidem axis AP sit positione datus, describi potest. SCHOLION II. 13. Ex his Exemplis eximius usus, quem habet nostra Me- thodus in Problematis etiam diversi generis resolvendis, abun- de patet; inprimis autem ultimum Exemplum nonnullas nota- tu maxime dignas suppeditat circumstantias, ex quibus natura solutionis illustrari poterit. Quoniam enim duplex æquatio ob factores duos nata est, duplex quoque solutio prodiit; quarum prior lineam satisfacientem absolute determinat, ita ut ea per data duo puncta duci nequeat: dat enim vel lineam rectam, vel semicir- culum. Linea recta duplici modo quæstionem solvit, dum est vel normalis ad axem AP, vel eidem parallela; & quemadmodum utraque satisfaciat manifestum est: nam in ea, quæ est normalis ad axem, portio quæ cum axe & normali datum spatium com- prehendit perpetuo est infinite parva, ideoque revera minima: altera recta axi parallela aliquanto latius patet, cum ea per da- tum punctum duci possit; & quia ipsæ applicatæ ad eam sunt normales, ac spatium abscissum sit ut ipsa abscissa, ejus respec- tu linea illa recta utique erit brevissima. Semicirculus deinde, qui ex prima solutione prodiit, ita absolute satisfacit, ut, pro- posita spatii abscindendi quantitate, ipse semicirculus determi- netur,