Methodus inveniendi lineas curvas

IN RESOLVENDIS QUAESTIONIBUS. 153 contineat, pro $x=a$, factum $\int Z dx \times \int Y dx$ maximum vel minimum; eadem aequatio, levi adhibita mutatione, simul continebit quotum $\frac{\int Z dx}{\int Y dx}$ maximum vel minimum. Perspicuum autem est, sive $\frac{\int Z dx}{\int Y dx}$ debeat esse maximum vel minimum, five $\frac{\int Y dx}{\int Z dx}$, utroque casu eandem plane esse prodituram aequationem. Hanc vero convenientiam ipsa rei natura postulat: nam si $\frac{\int Y dx}{\int Z dx}$ est maximum, tum eo ipso erit $\frac{\int Z dx}{\int Y dx}$ minimum & vicissim; unde utrique quaestioni eandem solutionem satisfacere necesse est. Caterum hunc quoque nexum observasse juvabit inter maximi minimive formulam $\frac{\int Z dx}{\int Y dx}$, quae, posito $x=a$, abit in $\frac{A}{B}$, & inter aequationem inventam $BdA - AdB = 0$: haec enim aequatio oritur ex differentiatione formulae $\frac{A}{B}$, ponendo ejus differentiale $=0$; istiusmodi autem nexum perpetuo locum habere in sequente Propositione demonstrabimus. EXEMPLUM I. 27. Invenire curvam, cujus area coordinatis orthogonalibus abscissa ad arcum curvae maximam teneat rationem, si abscissae datus valor $a$ tribuatur. Posita curvae quaesitae abscissa $=x$, applicata $=y$; erit area $=\int y dx$, & arcus $=\int dx \sqrt{(1+pp)}$; posito $dy=pdx$: maximum ergo esse debet $\frac{\int y dx}{\int dx \sqrt{(1+pp)}}$, casu quo ponitur $x=a$. Sit igitur, casu $x=a$, valor formulae $\int y dx$, seu area $=A$, & $\int dx \sqrt{(1+pp)}$ seu arcus abscissae $a$ respondens $=B$. Deinde formulae $\int y dx$ valor differentialis $dA$ erit $=nv.dx$. Euleri de Max. & Min. V I,