Methodus inveniendi lineas curvas

152 DE USU METHODI $\frac{A}{B}$; unde nascitur ista aequatio $BdA = AdB$; quae praebebit aequationem inter $x$ & $y$ quaesitam. Q. E. I. COROLL. I. 24. Ad hanc igitur aequationem inter $x$ & $y$ inveniendam, effici debet ut valores differentiales ipsarum $\int Zdx$ & $\int Ydx$ proportionales fiant ipsis harum formularum valoribus, quos obtinent posito $x = a$. COROLL. II. 25. Quanquam, in hac aequatione inventa $BdA = AdB$, duae inesse videantur constantes incognitae $A$ & $B$, tamen ambas in unam compingere licet. Pofito enim $\frac{A}{B} = C$, erit $dA = CdB$; inventaque aequatione, ex valore $a$ loco $x$ substituto determinabitur valor ipsius $C$. SCHOLION. 26. Si hujus & praecedentis Problematis solutiones inter se conferantur, ingens in iis deprehendetur consensus. Nam si maximum minimumve esse debeat factum $\int Zdx \times \int Ydx$, orta est ista aequatio $0 = AdB + BdA$; sin autem quotus $\frac{\int Zdx}{\int Ydx}$ debeat esse vel maximus vel minimus, inventa est ista aequatio $0 = AdB - BdA$; utroque autem casu litterae $A$, $B$ & $dA$, $dB$ eosdem retinent valores. Quare cum $A$ & $B$ sint quantitates constantes, ambae aequationes tantum ratione signi constantis differunt; posito enim $\frac{A}{B} = C$, priore casu habetur $dA = -CdB$, posteriore vero $dA = +CdB$. Ex quo pro utroque casu etiam eadem fere prodibit solutio; quia totum discrimen tantum in signo quantitatis constantis $C$ situm erit. Quod si ergo aequatio inter $x$ & $y$ fuerit inventa, quae conti-