Methodus inveniendi lineas curvas

IN RESOLVENDIS QUAESTIONIBUS. 151 His igitur valoribus differentialibus ambobus additis, emerget hujus expressionis compositae $∫yxdx ∫xdx\sqrt{1+pp} + ∫xdx\sqrt{1+pp} ∫yxdx$, seu hujus $∫yxdx ∫xdx\sqrt{1+pp}$, quae in Exemplo erat proposita, valor differentialis $= nv \cdot dx (Bx - \frac{A}{dx} d. \frac{xp}{\sqrt{1+pp}})$, ex quo pro curva aequatio erit haec $Bxdx = Ad. \frac{xp}{\sqrt{1+pp}}$, quam eandem in solutione Exempli invenimus. Similis autem consensus in genere deprehendetur, si quis expressionem $\frac{∫Zdxx}{∫Ydx}$ eodem modo tractare voluerit. PROPOSITIO III. PROBLEMA. 23. Invenire aequationem inter $x$ & $y$ ejus conditionis, ut, posito $x=a$, ista fractio $\frac{∫Zdx}{∫Ydx}$ obtineat maximum minimumve valorem: existentibus $Z$ & $Y$ functionibus quibuscunque ipsarum $x, y, p, q, r$, &c. sive determinatis, sive indeterminatis. SOLUTIO. Casu quo fit $x=a$, fit $∫Zdx=A$, atque $∫Ydx=B$: eritque $\frac{A}{B}$ maximum vel minimum, fiquidem relatio inter $x$ & $y$ recte fuerit assignata. Erit igitur fractio $\frac{A}{B}$ aequalis eidem huic fractioni $\frac{∫Zdx}{∫Ydx}$, casu quo $x=a$, si alicubi una applicata $y$ augeatur particula $nv$. Tum vero fiet $∫Zdx$ aequalis ipsi $A$, una cum valore differentiali formulae $∫Zdx$, qui fit $=dA$; similique modo $∫Ydx$ abibit in $B$ auctum valore differentiali formulae $∫Ydx$, qui fit $=dB$; sicque ex adjecta particula $nv$ ad applicatam $y$, casu quo $x=a$, transibit fractio $\frac{∫Zdx}{∫Ydx}$ in hanc $\frac{A+dA}{B+dB}$; quae aequalis esse debet fractioni $\frac{A}{B}$. A