Methodus inveniendi lineas curvas

IN RESOLVENDIS QUAESTIONIBUS. 159 fit $= 2c + \frac{\int s ds \sqrt{(1+pp)}}{\sqrt{(2ct+tt)}}$, quæ ipsi æqualis fieri nullo modo potest. Ex quo concluditur nullam curvæ hujus portionem quæsito præ reliquis magis satisfacere. Quamobrem initium abscissarum non sumi potest in vertice A. Sumatur ergo in alio quocunque puncto, positaque $AP=t$, fieri debet $2bt+tt = (c-x)^2-bb$; unde fit, vel $b+t=x-c$, vel $b+t=c-x$. Prior æquatio $x=b+c+t$ locum habere nequit; quia, ob $dx=ds$, fieri non potest $\frac{\int s ds \sqrt{(1+pp)}}{\int ds \sqrt{(1+pp)}} = c$ seu $(b+c+\frac{\int s dt \sqrt{(1+pp)}}{\int dt \sqrt{(1+pp)}})=c$. Ergo fiat $x=c-b-t$, quo casu abscissæ ab aliquo puncto axis AC superiori deorsum descendent: fierique deberet $\frac{\int x dx \sqrt{(1+pp)}}{\int dx \sqrt{(1+pp)}}$ seu $c-b-\frac{\int t dt \sqrt{(1+pp)}}{\int dt \sqrt{(1+pp)}} = c$, quod pariter fieri nequit; ex quo concludendum est, nullam portionem magis quam aliam quamvis satisfacere. Hoc autem inde venire videtur, quod Catenaria duas habet partes conjugatas veluti Hyperbola conica, hincque semper fieri potest $\frac{\int x dx \sqrt{(1+pp)}}{\int dx \sqrt{(1+pp)}}=0$, qui est valor minimus. Hoc clarius confirmari potest ex valore invento $p=\frac{b}{\sqrt{((c-x)^2-b^2)}}$; unde fit $\sqrt{(1+pp)}=\frac{c-x}{\sqrt{((c-x)^2-b^2)}}=(c-x)r$, posito brevitatis gratia $r=\frac{1}{\sqrt{((c-x)^2-b^2)}}$. Oporteret ergo in casu quæsito esse $\frac{\int (c-x)x r dx}{\int (c-x)r dx}=c$ seu $\int (c-x)^2 r dx =0$, quod cum casu $x=c$ evanescere debeat, alio insuper casu evanescere deberet. At est $\int (c-x)^2 r dx = \int \frac{(c-x)^2 dx}{\sqrt{((c-x)^2-b^2)}} = -\frac{1}{2}(c-x)\sqrt{((c-x)^2-b^2)} - \frac{bb}{2}l\frac{c-x+\sqrt{((c-x)^2-b^2)}}{b} + \frac{1}{2}c\sqrt{(c^2-b^2)}$, quæ expressio, cum semel fuit $=0$, post, ob $(c-x)^2$ perpetuo affirmativum, continuo crescet neque de-