Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 207 COROLL. VII. 59. Cum sit $C$ quantitas arbitraria; in genere notari convenit, quod si pro $C$ accipiatur ille formulæ $\int L dx$ valor, quem inducit si ponatur $x=a$, tum prodituram esse curvam, quæ inter omnes omnino curvas eidem abscissæ $x=a$ respondentes, habeat valorem formulæ $\int Z dx$ maximum vel minimum. SCHOLION I. 60. Casus Coroll. 6, quia is ab Auctoribus potissimum tractari est solitus, peculiarem evolutionem meretur, ut ejus ope Problemata quæ forte occurrere queant, facilius & expeditius resolvi possint. Inter omnes igitur Curvas isoperimetras, seu quæ eandem habeant longitudinem $s=\int dx\sqrt{(1+pp)}$, quæratur ea, in qua sit $\int Z dx$ maximum vel minimum, existente $Z$ functione cum quantitatum definitarum $x, y, p, q$ &c. tum arcus curvæ $s$; ita ut sit $dZ=Lds+Mdx+Ndy+Pdp+\&c.$ Pro curva hac proprietate gaudente jam inventa est hæc æquatio: $\frac{1}{dx} d. \frac{(C - \int L dx)p}{\sqrt{(1+pp)}} = N - \frac{dP}{dx} + \frac{ddQ}{dx^2} - \&c.$ quæ quidem, in hoc latissimo sensu nec integrari nec ad simpliciorem formam se reduci patitur. At casus notasse juvabit, quibus eam integrare licebit. Ac primo quidem si sit $N=0$ sponte prodit ista pro curva æquatio: $A + \frac{(C - \int L dx)p}{\sqrt{(1+pp)}} = -P + \frac{dQ}{dx} - \&c.$ jam semel integrata. Secundo ponamus esse $M=0$; atque æquatio per $pdx=dy$ multiplicata abibit in hanc $p d. \frac{(C - \int L dx)p}{\sqrt{(1+pp)}} = N dy - P dp + \frac{p ddQ}{dx} - \&c.$ ad quam si addatur $Lds = Ldx\sqrt{(1+pp)} = dZ - Ndy - Pdp [TRUNCATED]