Methodus inveniendi lineas curvas

206 DE METHODO tantium arbitrariarum unitate minor erit quam gradus iste differentialium; eo quod integrale $n = \int [Z] dx$ definitum obtinere debet valorem, eum ipsum scilicet, quem in maximi minimive formula $\int Z dx$ habet. COROLL. IV. 56. Hinc igitur in aequatione inventa, ob constantem arbitrariam $C$, potestate una plures inerunt constantes, quam differentialium gradus indicat. Quarum una eo determinabitur, ut valor formulae communis $n = \int [Z] dx$ fiat pro curva inventa datae magnitudinis; reliquae vero per data puncta vel tangentium positionem datam determinabuntur. COROLL. V. 57. Si $Z$ fuerit functio cum quantitatum $x, y, p, q, \text{&c.}$ tum arcus curvae $s$: atque inter omnes Curvas isoperimetras quaeratur ea, in qua fit $\int Z dx$ maximum vel minimum; tum fiet $n = s = \int [Z] dx$ & $[Z] = \sqrt{(1+pp)}$, ita ut fit $[M] = 0$, $[N] = 0$, & $[P] = \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$ : COROLL. VI. 58. Hoc igitur casu, si fuerit $dZ = L ds + M dx + N dy + P dp + Q dq + \text{&c.}$ habebitur pro Curva quae, inter omnes isoperimetras, habeat $\int Z dx$ maximum vel minimum, ista aequatio: $0 = N - \frac{1}{dx} d(P + \frac{(C - \int L dx)p}{\sqrt{(1+pp)}}) + \frac{d d Q}{d x^2} - \text{&c.}$ seu $N - \frac{dP}{dx} + \frac{ddQ}{dx^2} - \text{&c.} = \frac{(C - \int L dx) dp}{dx(1+pp)^{\frac{3}{2}}} - \frac{Lp}{\sqrt{(1+pp)}}$ sive $-\frac{Lp}{\sqrt{(1+pp)}} + N - \frac{dP}{dx} + \frac{ddQ}{dx^2} - \text{&c.} = \frac{(C - \int L dx) dp}{dx(1+pp)^{\frac{3}{2}}}$ Co-