Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 211 $=e^s$, & $e^s ds = \frac{-Adp}{PP} - \frac{(A-Bp)dx\sqrt{(1+pp)}}{p}$, hincque $dx = \frac{-Adp}{(A-Bp)p\sqrt{(1+pp)}}$ & $dy = \frac{-Adp}{(A-Bp)\sqrt{(1+pp)}}$. Componendo vero fiet $dx - \frac{Bdy}{A} = \frac{-dp}{p\sqrt{(1+pp)}}$, & integrando $Ax - By = A l \frac{1+\sqrt{(1+pp)}}{p} + C$, seu $\frac{1+\sqrt{(1+pp)}}{p} = e^{\frac{Ax-By-C}{A}}$. Cum autem, facto $s=0$, evanescere debeat $x$, atque ob $\frac{A-Bp}{p} = e^s$, facto $s=0$, fiat $p=\frac{A}{A+1}$, per integrationes efficiendum est, ut facto $p=\frac{A}{B+1}$ fiat $x=0$. EXEMPLUM III. 63. Inter omnes curvas ejusdem longitudinis, determinare eam in qua fit $\int sydx$ maximum vel minimum, denotante $s$ arcum curvae. Solutio hujus Quaestionis iterum petenda est ex Scholio; erit namque $Z=sy$ & $dZ=yds+sdy$, ex quo fit $L=y$, $M=0$ & $N=s$, reliquae litterae $P$, $Q$, &c. evanescunt. Cum igitur fit $M=0$, Casus Scholii secundus hanc suppeditabit solutionem: $\frac{C-\int ydx}{\sqrt{(1+pp)}} = A-ys$; immediate vero pro- dit $sdx = d. \frac{(C-\int ydx)}{\sqrt{(1+pp)}} = \frac{(C-\int ydx)dp}{(1+pp)^{\frac{3}{2}}} - \frac{ypdx}{\sqrt{(1+pp)}}$. Quare, cum fit $C-\int ydx = A\sqrt{(1+pp)} - ys\sqrt{(1+pp)}$, erit $sdx = \frac{Adp-ysdp-ydy}{1+pp}$, seu $sdx+spdy+ysdp+ydy=Adp$. Sin autem lubuerit arcum $s$ eliminare, habebitur ex binis aequationibus, $s = \frac{A}{y} - \frac{(C-\int ydx)}{y\sqrt{(1+pp)}} = \frac{(C-\int ydx)dp}{dx(1+pp)^{\frac{3}{2}}}$. Dd3