Methodus inveniendi lineas curvas

218 DE METHODO $dA$; hujus multiplum quodcunque $γdA$ addatur ad valorem differentialem $αdA + δdB$ expressionis, quæ maximum minimumve esse debet, ac summa $(α + γ)dA + δdB$ nihilo æqualis posita dabit æquationem pro curva quæsita. Habebitur igitur ista æquatio $(α + γ)dA + δdB = 0$, seu $(α + γ)dA + δdB = 0$; in qua, etiamsi $α$ & $δ$ sint quantitates constantes determinatæ, tamen, ob $γ$ & $δ$ quantitates constantes arbitrarias, coëfficientes valorum $dA$ & $dB$, qui sunt $(α + γ)$ & $δ$ evadent constantes arbitrariæ magnitudinis. Harum igitur loco si scribantur litteræ $ξ$ & $η$, habebitur pro curva quæsita ista æquatio $ξdA + ηdB = 0$. Quo-circa ad Problema solvendum, expressionum $A$ & $B$, quarum altera proprietatem communem continet, utriusque autem functio quæcunque maximum minimumve esse debet, singulatim valores differentiales $dA$ & $dB$ capi oportet, eosque, per quantitates constantes arbitrarias, quasque multiplicatos nihilo æquales poni, quo pacto resultabit ista æquatio $ξdA + ηdB = 0$, quæ naturam curvæ quæsitæ exprimet. Q. E. I. COROLL. I. 68. Natura igitur curvæ satisfacientis tantum ab expressionibus $A$ & $B$ pendet; neque ratio functionis ipsarum $A$ & $B$, quæ maximum minimumve esse debet, ullo modo in computo manet; sed quæcunque sit functio, eadem solutio prodibit. COROLL. II. 69. Quæcunque itaque ipsarum $A$ & $B$ functio, inter omnes curvas eadem proprietate $A$ gaudentes, debeat esse maximum vel minimum; solutio perinde se habebit, ac si, inter omnes curvas eadem communi proprietate $A$ gaudentes, ea requiratur, in qua expressio altera $B$ maximum minimumve obtineat valorem. Co-