Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 219 COROLL. III. 70. Quod si ergo expressiones $A$ & $B$ ejusmodi fuerint formulae, quarum valores differentiales $dA$ & $dB$ non pendeant a magnitudine abscissae $x$ cui respondent; quod evenit, si illae formulae pertineant ad Casum vel primum vel quartum, secundum nostram enumerationem Capite praecedente §. 7 factam, tum curva inventa pro quacunque abscissa aeque satisfaciet. COROLL. IV. 71. Eadem Solutio locum habebit si, inter omnes curvas quarum communis sit proprietas functio quaecunque ipsarum $A$ & $B$, ea requiratur in qua alia quaepiam earundem $A$ & $B$ functio sit maximum vel minimum. Hoc enim quoque casu pervenitur ad aequationem $\xi dA + \eta dB = 0$, in qua $\xi$ & $\eta$ sint quantitates constantes ad arbitrium accipiendae. EXEMPLUM I. 72. Inter omnes curvas $aMb$ cum axe $AB$ eandem aream Fig. 20. $\int y dx$ continentes, invenire eam in qua sit $\frac{\int yydx}{\int ydx}$ minimum. Quaestio haec initur, si inter omnes areas aequales quae intra ordinatas extremas $Aa$ & $Bb$ atque basi $AB$ formari possunt, desideretur ea, quae habeat suum centrum gravitatis in loco infimo positum. Sumpta enim curva quacunque $aMb$, positisque abscissa $AP=x$, applicata $PM=y$, erit portionis $aAPM$ centrum gravitatis a basi $AP$ remotum intervallo $=\frac{\int yydx}{2\int ydx}$; quod adeo fiet minimum, si reddatur haec expressio $\frac{\int yydx}{\int ydx}$ minima. Habemus ergo binas has formulas $\int ydx$ & $\int yydx$, quarum valores differentiales sunt $y.dx.1$ & $yy.dx.2y$, ex quibus Ee 2