Methodus inveniendi lineas curvas

223 DE METHODO cui $s$ respondens est ut $S$ functio ipsius $s$. Tum enim exprimet $\int S dx \sqrt{(1+pp)}$ hujus catenae pondus, & $\frac{\int S x dx \sqrt{(1+pp)}}{\int S dx \sqrt{(1+pp)}}$ altitudinem centri gravitatis supra abscissarum initium; quae esse debet minima. Principio quidem hic casus in Problemate praecedente non contineri videtur, quia formula arcum exprimens ipsa $\int dx \sqrt{(1+pp)}$ non inest in maximi minimive expressione $\int S x dx \sqrt{(1+pp)}$, quippe quae est functio duarum aliarum formularum integralium. At cum sit $S$ functio arcus curvae $s$, atque $ds = dx \sqrt{(1+pp)}$, erit $\int S dx \sqrt{(1+pp)} = \int S ds$. ideoque functio ipsius $s$: ex quo expressio $\frac{\int S x dx \sqrt{(1+pp)}}{\int S dx \sqrt{(1+pp)}}$ erit functio formularum $\int dx \sqrt{(1+pp)}$ & $\int S x dx \sqrt{(1+pp)}$, quarum illa proprietatem communem continet. Idem igitur est ac si quaerere deberemus inter omnes curvas aeque longas eam in qua fit $\int S x dx \sqrt{(1+pp)}$ minimum. Cum jam $S$ sit functio ipsius $s = \int dx \sqrt{(1+pp)}$, pertinebit haec Quaestio ad Propositionem praecedentem, eumque casum qui §. 60 est pertractatus. Scilicet erit $Z = S x \sqrt{(1+pp)}$; unde, si ponamus $dS = T ds$, fiet $dZ = x T ds \sqrt{(1+pp)} + S dx \sqrt{(1+pp)} + \frac{S x p dp}{\sqrt{(1+pp)}}$, ita ut fit $L = x T \sqrt{(1+pp)}$; $M = S \sqrt{(1+pp)}$, $N=0$ & $P = \frac{Sxp}{\sqrt{(1+pp)}}$. Jam ob $N=0$, obtinemus ex eodem loco citato statim hanc aequationem $A + (C - \int x T dx \sqrt{(1+pp)}) \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}} = \frac{Sxp}{\sqrt{(1+pp)}}$ seu $A \frac{\sqrt{(1+pp)}}{p} + C - \int x T dx \sqrt{(1+pp)} + Sx = 0$. At est $T dx \sqrt{(1+pp)} = T ds = dS$; unde habetur $A \frac{\sqrt{(1+pp)}}{p} + C + Sx - \int x dS = 0$, ubi $A$ & $C$ sunt quantitates arbitrariae. Differentietur haec aequatio, fietque $-\frac{A dp}{pp\sqrt{(1+pp)}} + Sdx = 0$, seu $S dx \sqrt{(1+pp)} = -\frac{A dp}{pp} = S ds$. Quare cum sit $S$ functio ipsius