Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 223 ipfius $s$, integretur $Sds$, eritque integrale, quod fit $=R$, pondus catenae longitudini $s$ refpondens. Fiet ergo integrando $=R+C$; &, fi initium curvae capere placeat in loco A, ubi curae tangens eft horizontalis, erit $C=0$, atque $p = \frac{c}{R}$. Hinc ergo porro erit $\sqrt{(1+pp)} = \frac{\sqrt{(cc+RR)}}{R} = \frac{ds}{dx}$; idcoque $dx = \frac{Rds}{\sqrt{(cc+RR)}}$, atque $dy = \frac{cds}{\sqrt{(cc+RR)}}$, ex quibus aequationibus curva ita poterit conftrui, ut ftatim ad quamvis catenae longitudinem tam abfciffa quam applicata refpondens definiatur. Manifeftum autem eft cafu quo $R=s$, hoc eft quo catena ponitur uniformis craffitiei, tum prodire Catenariam curvam ordinariam. SCHOLION. 75. Nifi hujus Exempli convenientia, tam cum ifta Propofitione quam cum praecedente, effet obfervata, tum Solutio quidem per regulam generalem abfolvi potuiffet: verum tamen multo prolixior evafiffet. Quo autem nihilominus Methodi generalis ufus clarius ob oculos ponatur, idem hoc Exemplum fecundum generalia praecepta refolvere vifum eft. Quaeratur igitur inter omnes curvas ejufdem longitudinis $s=\int dx\sqrt{(1+pp)}$, ea quae habeat valorem expreffionis hujus $\frac{\int Sxdx\sqrt{(1+pp)}}{\int Sdx\sqrt{(1+pp)}}$ maximum vel minimum; exiftente $S$ functione quacunque arcus curvae $s$. Et quoniam nondum fufpicari licet confiderationem datae abfciffae, a qua valor differentialis expreffionis $\frac{\int Sxdx\sqrt{(1+pp)}}{\int Sdx\sqrt{(1+pp)}}$ pendet, ex calculo effe egreffuram; ponamus huic Quaestioni tantum pro data abfciffae longitudine $x=a$ fatisfieri oportere. Ab hac longitudine quidem formulae communem proprietatem continentis $\int dx\sqrt{(1+pp)}$ valor differentialis non pendet, quippe