Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 225 $N=0$ & $P = \frac{Sxp}{\sqrt{(1+pp)}}$. Deinde, ob $\Pi = s = \int dx \sqrt{(1+pp)}$, erit, ut ante, $[Z] = \sqrt{(1+pp)}$, $[M]=0$, $[N]=0$, & $[P] = \frac{1}{\sqrt{(1+pp)}}$. Nunc sumatur integrale $\int L dx = $ $\int T x dx \sqrt{(1+pp)} = \int T x ds = \int x dS$, cujus valor, posi- to $x=a$, fit $=H$; erit $V=H-\int x dS$, hincque prodi- bit istius formulae valor differentialis $dA = \dots$ $-m.d.(\frac{Sxp+p(H-\int xdS)}{\sqrt{(1+pp)}}) = -nv.d.\frac{p(H+\int Sdx)}{\sqrt{(1+pp)}}$. In- ventis ergo valoribus $dA$ & $dB$, aequatio pro curva quaesita erit $\mathfrak{a}B.d.\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}} - \mathfrak{b}A.d.\frac{Gv}{\sqrt{(1+pp)}} + \mathfrak{c}B.d.\frac{p(H+\int Sdx)}{\sqrt{(1+pp)}} = 0$, & integrando $\frac{\mathfrak{a}B^2 p - \mathfrak{b}AGp + \mathfrak{c}BHp + \mathfrak{c}Bp\int Sdx}{\sqrt{(1+pp)}} = C$; in qua $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$, & $C$ sunt constantes arbitrariae, & $G$ & $H$ constan- tes determinatae. Quod si ergo ponatur $\frac{\mathfrak{a}B}{\mathfrak{c}} + \frac{\mathfrak{b}G}{\mathfrak{B}} + H = \mathfrak{b}$ & $\frac{C}{\mathfrak{c}B} = \mathfrak{c}$, erunt $\mathfrak{b}$ & $\mathfrak{c}$ constantes arbitrariae, atque constantes determinatae $G$ & $H$ a definito abscissae valore $x=a$ penden- tes omnino ex aequatione evanescant; ita ut Curva inventa pro quavis abscissa gavisura sit desiderata proprietate: ejusque aequa- tio erit haec $\mathfrak{c} = \frac{\mathfrak{b}p+p\int Sdx}{\sqrt{(1+pp)}}$, seu $\frac{\mathfrak{c}\sqrt{(1+pp)}}{p} = \mathfrak{b}+\int Sdx$; quae differentiata dabit $Sdx = -\frac{\mathfrak{c}dp}{pp\sqrt{(1+pp)}}$, seu $Sdx\sqrt{(1+pp)} = -Sds = -\frac{\mathfrak{c}dp}{pp}$. Ponatur, ut supra, $\int Sds = R$, ita ut $R$ pondus longitudinis catenae repraesentet, erit $R = \frac{\mathfrak{c}}{p} + Const.$ quae est ipsa aequatio, quam praecedenti Methodo elicuimus. Ex hac itaque solutione intelligitur, quemadmodum per Methodum generalem hujusmodi Quaestiones resolvi possint, si proprietas communis non ingrediatur in maximi minimive expressionem; quod ut clarius intelligatur unum adhuc hujusmodi Exemplum apposuisse sufficiet. Euleri de Max. & Min. Ff EXEM-