Methodus inveniendi lineas curvas

226 DE METHODO EXEMPLUM IV. Fig. 14. 76. Inter omnes curvas ejusdem longitudinis DAD data abscissa $AC=a$ respondentes, eam definire quae comprehendat aream DAD, cujus centrum gravitatis G sit vel altissime vel profundissime positum, seu in qua fit $\frac{\int yxdx}{\int ydx}$ maximum vel minimum. Proprietas igitur communis est $\int dx\sqrt{(1+pp)}$, cujus valor differentialis cuicunque abscissae $x$ respondens eft $nv.d. \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$. Maximi autem minimive expressionis $\frac{\int yxdx}{\int ydx}$ valor differentialis pendebit a praescripta abscissae longitudine $x=a$; qui ut inveniatur; casu quo $x=a$, fiat $\int yxdx=A$, hujusque formulae valor differentialis fit $=dA$, qui per Regulas supra datas invenitur $=ny.dx.x=nv.xdx$. Porro, eodem casu $x=a$, abeat altera formula $\int ydx$ in $B$, fitque ejus valor differentialis $=dB$, qui per Regulas datas reperitur $=nv.dx$; ita ut fit $dA=nv.xdx$ & $dB=nv.dx$. Ex his, maximi minimive expressionis $\frac{\int yxdx}{\int ydx}$, quae, casu $x=a$, abit in $\frac{A}{B}$, valor differentialis erit $=\frac{BdA-AdB}{BB} = \frac{nv(Bxdx-Adx)}{BB}$, qui multiplo valoris differentialis $-nv.d. \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$, qui ex proprietate communi prodiit, aequalis positus dabit pro curva quaesita istam aequationem $ad. \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}} = \frac{Bxdx-Adx}{BB}$. Sit $\frac{A}{B}=b$, erit $b$ quantitas constans determinata, quam praebet formula $\frac{\int yxdx}{\int ydx}$, si ponatur $x=a$, & $aB$ ponatur $=cc$, erit $cc$ quantitas arbitraria. Hinc habebitur ista pro curva aequatio $ced. \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}} = xdx-bdx$, quae