Methodus inveniendi lineas curvas

234 DE METHODO SOLUTIO. Ex præcedentibus jam intelligitur hoc Problema solvi, si, inter omnes curvas, absolute quæratur ea in qua fit $αA + βB + γC$ maximum vel minimum. Ad hoc autem nosse oportet valores differentiales expressionum $A$, $B$, & $C$. Sit igitur valor differentialis expressionis $A = nν . dx . P$; expressionis $B = nν . dx . Q$; expressionis $C = nν . dx . R$; ex quibus æquatio pro curva desiderata erit $αP + βQ + γR = 0$. Verum, quo hujus Solutionis veritas magis eluceat, idem hoc Problema eadem Methodo*, qua supra in Capite præced. usi sumus, aggrediamur. Primum autem intelligitur, ad hoc Problema resolvendum, ternas applicatas particulis infinite parvis augeri debere, ut tribus conditionibus præscriptis satisfieri possit. Primo enim tres has particulas adjunctas, quibus ipsa curva satisfaciens $az$ in novam $afe$ quam-minime discrepantem transmutatur, ita comparatas esse oportet, ut expressio $A$, quæ unam proprietatem communem continet, in utramque curvam æqualiter competat: Deinde etiam altera proprietas communis $B$ in utraque curva eundem valorem obtinere debebit. Tertio ex maximi minimive natura expressio quoque $C$ eundem valorem in ipsa curva & eadem mutata nancisci debet; quibus tribus conditionibus, per pauciores quam tres particulas tribus applicatis adjunctas, satisfieri non potest. Quare præter binas applicatas $Nn$ & $Oo$, quæ in figura particulis $nν$ & $oω$ sunt auctæ, concipiatur sequenti applicatæ $Pp$ particula $pρ$ adjici. Ac quæratur primum incrementum, quod expressio $A$ ex his tribus particulis affequitur quod erit $= nπ . Pdx + oω . P'dx + pρ . P''dx$. Namque ex particula $nν$ nascitur incrementum $nν . Pdx$, congruens cum ipso valore differentiali, quem expressio $A$ ex sola particula $nν$ adipiscitur. Ex sequenti vero particula $oω$ oritur incrementum $oω . P'dx$, scilicet, idem quod ante, suo differentiali auctum: quia enim $oω$ sequenti applicatæ adjungitur, omnes quantitates $oω$ afficientes erunt sequentes earum, quibus particula $nν$ afficitur: atque simili ratione ex particula $pρ$ nascetur incre-