Methodus inveniendi lineas curvas

238 DE METHODO quoque vero genere una erit curva, quæ præ reliquis valorem ex-preffionis B contineat maximum vel minimum. Neceffe autem eft has curvas fatisfacientes omnes in Solutione generali contine-ri debere. Cum igitur, ob unam proprietatem communem præfcriptam, numerus curvarum fatisfacientium fiat infinitus, mul-to magis is augebitur, propter eandem rationem, fi plures pro-prietates communes proponantur. Interim tamen fi valores, quos habent fingulæ proprietates communes in curvis ex quibus quæfitam erui oportet actu definiantur, tum utique folutio unicam Curvam fatisfacientem præbebit. Conftantes fcilicet illæ eo in-fervient ut valores, quos proprietates communes in curva inven-ta obtinebunt, pro arbitrio determinentur; fic, per has con-ftantes, in cafu duarum proprietatum communium $A$ & $B$, cur-va poterit affignari quæ datos expreffionum $A$ & $B$ recipiat va-lores, atque infuper ita fit comparata ut, inter omnes infinitas alias eofdem illarum expreffionum $A$ & $B$ valores recipientes, habeat valorem alius cujufcunque expreffionis $C$ maximum vel minimum. Atque hæc eadem admonitio locum habet, fi plu-res proprietates communes fuerint præfcriptæ; ex quo fatis perf-picuum eft, quid hifce conftantibus in Solutionem ingredienti-bus fit faciendum, & quomodo eas ad ufum traduci oporteat: id quod in fequentibus Exemplis clarius declarari poterit. EXEMPLUM I. *Fig. 14.* 22. Inter omnes curvas ad eandem abfciffam $AC=a$ relatas, quæ cum inter fe ejufdem fint longitudinis, tum etiam æquales areas $DAD$ comprehendant; determinare eam, quæ circa axem $AC$ rotata generet folidum maximæ vel minimæ capacitatis. Pofitis abfciffa $AP=x$, applicata $PM=y$ & $dy=pdx$; binæ proprietates communes propofitæ funt $\int ydx$ & $\int dx\sqrt{(1+pp)}$; at maximi minimive formula eft $\int yydx$. Quærantur jam ha-rum trium formularum valores differentiales. Ac primo quidem erit formulæ $\int ydx$ valor differentialis $= nv \cdot dx$; deinde for-mulæ