Methodus inveniendi lineas curvas

ELASTICIS. 247 De curva Laminæ Elasticæ uniformis. Fig. 1. 2. Sit AB lamina Elastica utcunque incurvata; vocetur arcus AM $= s$, & radius ofculi curvæ MR $= R$: atque, secundum BERNOULLIUM, exprimetur vis potentialis in lamina portione AM contenta hac formula $∫\frac{ds}{RR}$, siquidem lamina fit ubique æqualiter crassa, lata & elastica, atque in statu naturali in directum extensa. Hinc ista erit curvæ AM indoles, ut in ea hæc expressio omnium minimum obtineat valorem. Quoniam vero in radio ofculi R differentialia secundi gradus insunt, ad curvam hac proprietate præditam determinandam quatuor opus erit conditionibus, id quod cum Quæstionis natura apprime convenit. Cum enim per datos terminos A & B infinitæ laminæ Elasticæ eæque ejusdem longitudinis inflecti queant, quæstio non erit determinata, nisi præter duo puncta A & B, simul alia duo puncta, seu quod eodem redit positio tangentium in punctis extremis A & B præscribatur. Proposita namque lamina Elastica, longiori quam est distantia punctorum A & B; ea non solum ita incurvari potest, ut intra terminos A & B contineatur, sed etiam ut ejus tangentes in punctis hisce datas teneant directiones. His notatis; Quæstio de invenienda curvatura laminæ Elasticæ, ex hoc fonte resolvenda, ita debet proponi: ut, inter omnes curvas ejusdem longitudinis, quæ non solum per puncta A & B transeant, sed etiam in his punctis a rectis positione datis tangantur, definiatur ea in qua sit valor hujus expressionis $∫\frac{ds}{RR}$ minimus. Fig. 2. 3. Quia solutionem ad coordinatas orthogonales accommodari convenit, sumatur recta quæcunque AD pro axe, in qua fit abscissa AP $= x$, applicata PM $= y$; ponatur, uti Methodus tradita jubet, $dy = p dx$, $dp = q dx$; erit elementum curvæ Mm $= ds = dx \sqrt{(1+pp)}$. Primum ergo quia curvæ, ex quibus quæsita erui debet, isoperimetræ statuuntur, habebitur ista expressio consideranda $∫dx \sqrt{(1+pp)}$; quæ cum generali $∫Zdx$ comparata hunc præbet valorem differentialem