Methodus inveniendi lineas curvas

ELASTICIS. 279 momentorum a viribus arcum Am sollicitantibus ortorum $= xp - \int \zeta dp - yq + \int \eta dq$; ubi $p$ exprimit summam omnium virium arcum AM in directionibus applicatis pm parallelis sollicitantium, & $q$ summam omnium virium arcum Am in directionibus axi Ap parallelis sollicitantium. At est $\int \zeta dp = \zeta p - \int p d\zeta$ & $\int \eta dq = \eta q - \int q d\eta$; unde fit summa momentorum ex viribus arcui Am applicatis ortorum $= (x-\zeta)p + \int p d\zeta - (y-\eta)q - \int q d\eta$. Promoveatur jam punctum m in M usque, fietque $\zeta=x$, $\eta=y$, & $d\zeta=dx$ atque $d\eta=dy$; unde summa omnium momentorum per totum arcum AM sumptorum erit $=\int p dx - \int q dy$. Quocirca obtinebitur pro curva quaesita haec aequatio $\frac{Ekk}{R} = P(c+x) - Qy + \int p dx - \int q dy$, ubi ergo $p$ exprimit summam omnium virium verticalium seu in directionibus applicatarum MP agentium, & $q$ summam omnium virium horizontalium seu in directionibus MQ axi AP parallelis agentium per totum arcum AM. 58. Si formula $pdx$ & $qdy$ integrationem non admittant; tum aequatio inventa per differentiationem ab his formulis integralibus liberari debebit, unde habebitur ista aequatio: $-\frac{Ekk dR}{R R} = Pdx - Qdy + pdx - qdy$. Sin autem nec $p$ nec $q$ per expressiones finitas exhiberi possint; quippe quae jam exprimunt summas infinitarum virium infinite parvarum, tum per ulteriorem differentiationem valores finiti $p$ & $q$ exterminari debebunt, ut tantum insint $dp$ & $dq$ cum differentio-differentialibus $ddp$ & $ddq$. Orietur autem, post primam differentiationem, $-Ekkd.\frac{dR}{RRdx} = dp - (Q+q) \times d.\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} dq$. Sit $\frac{dy}{dx} = w$, eritque denuo aequatione differentiata: $-Ekk d. \frac{d. \frac{dR}{RRdx}}{dw} = d. \frac{dp}{dw} - 2dq - w d. \frac{dq}{dw}$ quae aequatio ad differentialia quarti ordinis ascendit. 59. Sint