Methodus inveniendi lineas curvas

ELASTICIS. 285 singulis punctis M sollicitaretur viribus $\frac{Mydx}{af}$ in directionibus $M\pi$. Per regulam ergo supra §. 56 inventam, colligantur omnes hæ vires per arcum $aM$ applicatæ, atque prodibit summa $=\frac{M}{af}\int ydx$, quæ ibi in locum ipfius $p$ substitui debet. Quare cum vires reliquæ $P$, $Q$, & $q$, quæ ibi habebantur, evanescant, natura curvæ exprimetur æquatione $\frac{Ekk}{R} = \int p dx$: unde habebitur $\frac{Ekk}{R} = \frac{M}{af}\int dx \int ydx$. Cum vero fit $R=\frac{dx^2}{ddy}$, erit $\frac{Ekk ddy}{dx^2} = \frac{M}{af}\int dx \int ydx$; & differentiando $\frac{Ekk d^3y}{dx^3} = \frac{M}{af}\int ydx$: denuoque differentiando prodibit ista æquatio differentialis quarti ordinis. $Ekk d^4y = \frac{Mydx^4}{af}$. 68. Hac ergo æquatione & natura curvæ BMa exprimitur, & ex eadem, si ad casum oblatum accommodetur, longitudo $f$ determinabitur; qua cognita, ipse motus oscillatorius innotescet. Ante omnia autem hanc æquationem integrari oportet: quæ cum pertineat ad id æquationum differentialium altiorum graduum genus, cujus integrationem generalem exhibui in *Miscell. Berol.* Volumine VII, hinc sequens æquatio integralis reperietur, ponendo brevitatis ergo $\frac{Ekk af}{M} = c^4$; prodibit scilicet $y=Ae^{\frac{x}{c}}+Be^{-\frac{x}{c}}+C\text{sin.}\frac{x}{c}+D\text{cof.}\frac{x}{c}$, ubi $e$ denotat numerum cujus logarithmus hyperbolicus est $=1$; & $\text{sin.}\frac{x}{c}$ & $\text{cof.}\frac{x}{c}$ denotant sinum & cosinum arcus $=\frac{x}{c}$ in circulo, cujus radius $=1$, assumpti. Tum vero $A$, $B$, $C$, & $D$ funt quatuor constantes arbitrariæ per quadruplicem integrationem introductæ, quas ex accommodatione calculi ad præsentem casum definire oporter. 69. Determinatio autem constantium sequenti modo institue- Nn 3 tur.