Methodus inveniendi lineas curvas

308 DE CURVIS *De oscilla- tionibus laminæ elasticæ utroque termino parieti in- fixa. Fig. 25.* 94. Hoc casu expedito; istam de laminis elasticis tractationem claudat motus oscillatorius laminæ elasticæ, utroque termino A & B muro infixæ, ita ut inter oscillandum puncta A & B non solum maneant immota, sed etiam recta AB perpetuo sit tangens curvæ AMB in punctis A & B. Hic ergo iterum cavendum est, ut obices terminos A & B comprehendentes non sint adeo firmi, sed tantillam extensionem quanta ad curvaturam requiritur, permittant. Quæcunque ergo sint vires in terminis A & B ad laminam continendam requisitæ; ad sequentem pervenietur æquationem differentialem quarti ordinis $Ekkd^4y = \frac{M}{af} ydx^4$; cujus, si ponatur $\frac{Ekkaf}{M} = c^4$, integralis erit ut supra, $y = Ae^{\frac{x}{c}} + Be^{-\frac{x}{c}} + C\sin.\frac{x}{c} + D\cos.\frac{x}{c}.$ 95. Constantes A, B, C, & D autem ita debent esse comparatæ, ut posito $x=0$, non solum $y$ evanescat, fed etiam fiat $dy=0$, quia in A curva ab axe AB tangitur. Hoc idem utrumque vero evenire debet, si ponatur $x=a$; unde istæ quatuor æquationes nascentur I. $0 = A + B + D$ II. $0 = A - B + C$ III. $0 = Ae^{\frac{a}{c}} + Be^{-\frac{a}{c}} + C\sin.\frac{a}{c} + D\cos.\frac{a}{c}$ IV. $0 = Ae^{\frac{a}{c}} - Be^{-\frac{a}{c}} + C\cos.\frac{a}{c} - D\sin.\frac{a}{c};$ Ex harum æquationum prima & secunda oritur $C = -A+B$, & $D = -A-B$, qui valores in reliquis duabus substitui dabunt $0 = Ae^{\frac{a}{c}} + Be^{-\frac{a}{c}} - (A-B)\sin.\frac{a}{c} - (A+B)\cos.\frac{a}{c}$ $0 = Ae^{\frac{a}{c}} - Be^{-\frac{a}{c}} - (A-B)\cos.\frac{a}{c} + (A+B)\sin.\frac{a}{c}$ quarum